(1) $3^5 \times (\frac{1}{9})^4$ を計算します。 (2) $\frac{(ab^{-1})^3}{(a^{-1}b)^2}$ を計算します。ただし、$a \neq 0$, $b \neq 0$ とします。

1. 問題の内容

(1) $3^5 \times (\frac{1}{9})^4$ を計算します。

(2) $\frac{(ab^{-1})^3}{(a^{-1}b)^2}$ を計算します。ただし、$a \neq 0$, $b \neq 0$ とします。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{1}{9}$ を $3$ のべき乗の形で表します。$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$ です。

したがって、$(\frac{1}{9})^4 = (3^{-2})^4 = 3^{-8}$ となります。

元の式は、$3^5 \times 3^{-8} = 3^{5-8} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$ となります。

(2)

$\frac{(ab^{-1})^3}{(a^{-1}b)^2}$ を計算します。

$(ab^{-1})^3 = a^3(b^{-1})^3 = a^3b^{-3}$

$(a^{-1}b)^2 = (a^{-1})^2b^2 = a^{-2}b^2$

したがって、

$\frac{(ab^{-1})^3}{(a^{-1}b)^2} = \frac{a^3b^{-3}}{a^{-2}b^2} = a^{3-(-2)}b^{-3-2} = a^5b^{-5} = \frac{a^5}{b^5} = (\frac{a}{b})^5$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{27}$

(2) $(\frac{a}{b})^5$