与えられた3つの行列の行列式を計算する問題です。 (1) は4x4行列、(2) は3x3行列、(3) も4x4行列です。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の行列式を計算する問題です。

(1) は4x4行列、(2) は3x3行列、(3) も4x4行列です。

2. 解き方の手順

(1)

行列式を計算する前に、行列にいくつかの操作を適用して簡略化します。$R_i$を$i$行目とすると、以下の操作を行います。

$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3 + R_4$

新しい行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} \alpha+\beta+\gamma+\delta & \alpha+\beta+\gamma+\delta & \alpha+\beta+\gamma+\delta & \alpha+\beta+\gamma+\delta \\ \beta & \alpha & \delta & \gamma \\ \gamma & \delta & \alpha & \beta \\ \delta & \gamma & \beta & \alpha \end{pmatrix}$

$(\alpha+\beta+\gamma+\delta)$を1行目から因数として取り出すと、

$(\alpha+\beta+\gamma+\delta) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \beta & \alpha & \delta & \gamma \\ \gamma & \delta & \alpha & \beta \\ \delta & \gamma & \beta & \alpha \end{vmatrix}$

次に、列に対して以下の操作を行います。

$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$, $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$, $C_4 \rightarrow C_4 - C_1$

$(\alpha+\beta+\gamma+\delta) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \beta & \alpha-\beta & \delta-\beta & \gamma-\beta \\ \gamma & \delta-\gamma & \alpha-\gamma & \beta-\gamma \\ \delta & \gamma-\delta & \beta-\delta & \alpha-\delta \end{vmatrix}$

次に、1行目と1列目に関して展開すると、3x3の行列式が得られます。

$(\alpha+\beta+\gamma+\delta) \begin{vmatrix} \alpha-\beta & \delta-\beta & \gamma-\beta \\ \delta-\gamma & \alpha-\gamma & \beta-\gamma \\ \gamma-\delta & \beta-\delta & \alpha-\delta \end{vmatrix}$

この3x3行列式を直接計算するのは複雑なので、これ以上簡略化するのは難しいでしょう。

(2)

行列式を直接計算します。

$\begin{vmatrix} a & bc & b+c \\ b & ca & c+a \\ c & ab & a+b \end{vmatrix} = a(ca(a+b) - ab(c+a)) - bc(b(a+b) - c(c+a)) + (b+c)(b(ab) - c(ca))$

$= a(a^2c + abc - abc - a^2b) - bc(ab + b^2 - c^2 - ca) + (b+c)(ab^2 - c^2a)$

$= a(a^2c - a^2b) - bc(ab + b^2 - c^2 - ca) + ab^3 - c^2ab + abc^2 - ac^3$

$= a^3c - a^3b - ab^2c - b^3c + bc^3 + abc^2 + ab^3 - c^2ab + abc^2 - ac^3$

$= a^3c - a^3b - ab^2c - b^3c + bc^3 + 2abc^2 + ab^3 - abc^2 - ac^3$

$= a^3c - a^3b + ab^3 - ab^2c + abc^2 + bc^3 - b^3c - ac^3$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

あるいは、

$\begin{vmatrix} a & bc & b+c \\ b & ca & c+a \\ c & ab & a+b \end{vmatrix}$

$C_3 \rightarrow C_3 + C_1 / a * b * c$ をすると

$\begin{vmatrix} a & bc & b+c + 1/bc \\ b & ca & c+a + 1/ca \\ c & ab & a+b + 1/ab \end{vmatrix}$

(3)

$\begin{vmatrix} a & a & a & x \\ a & a & x & a \\ a & x & a & a \\ x & a & a & a \end{vmatrix}$

$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3 + R_4$

$\begin{vmatrix} a+a+a+x & a+a+x+a & a+x+a+a & x+a+a+a \\ a & a & x & a \\ a & x & a & a \\ x & a & a & a \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3a+x & 3a+x & 3a+x & 3a+x \\ a & a & x & a \\ a & x & a & a \\ x & a & a & a \end{vmatrix}$

$(3a+x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & a & x & a \\ a & x & a & a \\ x & a & a & a \end{vmatrix}$

$C_2 \rightarrow C_2 - C_1, C_3 \rightarrow C_3 - C_1, C_4 \rightarrow C_4 - C_1$

$(3a+x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & x-a & 0 \\ a & x-a & 0 & 0 \\ x & a-x & a-x & a-x \end{vmatrix} = (3a+x) \begin{vmatrix} 0 & x-a & 0 \\ x-a & 0 & 0 \\ a-x & a-x & a-x \end{vmatrix}$

$= (3a+x) (a-x) \begin{vmatrix} 0 & x-a \\ x-a & 0 \end{vmatrix} = (3a+x) (a-x) (0 - (x-a)^2) = (3a+x)(a-x)(-(x-a)^2) = -(3a+x)(a-x)^3$

よって、行列式は $-(3a+x)(a-x)^3$

3. 最終的な答え

(1) $(\alpha+\beta+\gamma+\delta) \begin{vmatrix} \alpha-\beta & \delta-\beta & \gamma-\beta \\ \delta-\gamma & \alpha-\gamma & \beta-\gamma \\ \gamma-\delta & \beta-\delta & \alpha-\delta \end{vmatrix}$

(2) $a^3c - a^3b + ab^3 - ab^2c + abc^2 + bc^3 - b^3c - ac^3 = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

(3) $-(3a+x)(a-x)^3$