$\sqrt{13-2n}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求め、小さい順にコンマ区切りで記述する。

1. 問題の内容

$\sqrt{13-2n}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求め、小さい順にコンマ区切りで記述する。

2. 解き方の手順

$\sqrt{13-2n}$ が自然数となるためには、$13-2n$ が0以上の平方数である必要があります。つまり、$13-2n = k^2$ となるような非負整数 $k$ を探します。

$13-2n \ge 0$ より、$2n \le 13$。したがって、$n \le \frac{13}{2} = 6.5$ となります。

$n$ は自然数なので、$n$ は 1 から 6 までの整数です。

$13 - 2n = k^2$ より、$2n = 13 - k^2$。

$n = \frac{13-k^2}{2}$ となります。$n$ が自然数になるためには、$13-k^2$ が正の偶数である必要があります。

$k=0$ のとき、$n = \frac{13}{2}$ となり、自然数ではない。

$k=1$ のとき、$n = \frac{13-1}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$k=2$ のとき、$n = \frac{13-4}{2} = \frac{9}{2}$ となり、自然数ではない。

$k=3$ のとき、$n = \frac{13-9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$13-2n$ は平方数でなければならないので、$13-2n$ が取りうる値は、0, 1, 4, 9 です。

$13-2n = 0$ のとき、$2n = 13$。$n = \frac{13}{2}$ (不適)

$13-2n = 1$ のとき、$2n = 12$。$n = 6$

$13-2n = 4$ のとき、$2n = 9$。$n = \frac{9}{2}$ (不適)

$13-2n = 9$ のとき、$2n = 4$。$n = 2$

したがって、$n=2, 6$ が求める自然数です。

3. 最終的な答え

2,6