与えられた画像は、置換に関する問題集の一部です。問題は主に以下の内容を含んでいます。 * 置換の積の計算 * 置換を巡回置換または互換の積に分解 * 置換の符号の計算 * $S_4$ の元の列挙と、偶置換と奇置換への分類 * 多項式に対する置換の作用の計算 * 差積に関する性質の証明

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた画像は、置換に関する問題集の一部です。問題は主に以下の内容を含んでいます。

* 置換の積の計算

* 置換を巡回置換または互換の積に分解

* 置換の符号の計算

* $S_4$ の元の列挙と、偶置換と奇置換への分類

* 多項式に対する置換の作用の計算

* 差積に関する性質の証明

2. 解き方の手順

ここでは、問題5の一部について解き方を説明します。

問題5は、「n変数 $x_1, x_2, ..., x_n$ の多項式 $f(x_1, ..., x_n)$ と置換 $\sigma \in S_n$ に対して、 $\sigma f(x_1, ..., x_n) = f(x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)})$ と定義する。次の$\sigma$と$f$の組に対して、$\sigma f$ を求めよ。」という問題です。

例として、(1)の $\sigma = (1\ 2)$, $f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$ の場合を考えます。

$\sigma = (1\ 2)$ は、$1$を$2$に、$2$を$1$に置き換える置換です。

したがって、

$\sigma f = f(x_2, x_1, x_3) = x_2x_1 + 2x_1 + 3x_3$

となります。

(2) $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$ の場合:

$\sigma$ は、$1$を$2$に、$2$を$3$に、$3$を$1$に置き換える置換です。

したがって、

$\sigma f = f(x_2, x_3, x_1) = x_2x_3 + 2x_3 + 3x_1$

となります。

(3) $\sigma = (2\ 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$の場合:

$\sigma$ は、$2$を$3$に、$3$を$2$に置き換える置換です。

したがって、

$\sigma f = (x_1 - x_3)(x_1 - x_2)(x_3 - x_2) = (x_1 - x_3)(x_1 - x_2)(-1)(x_2 - x_3) = -(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = -f$

となります。

(4) $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$ の場合:

$\sigma$ は、$1$を$2$に、$2$を$3$に、$3$を$1$に置き換える置換です。

したがって、

$\sigma f = (x_2 - x_3)(x_2 - x_1)(x_3 - x_1) = (x_2 - x_3)(-(x_1 - x_2))(-(x_1 - x_3)) = (x_2 - x_3)(x_1 - x_2)(x_1 - x_3) = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = f$

となります。

3. 最終的な答え

問題5の各問の答えは以下の通りです。

(1) $\sigma f = x_1x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma f = x_2x_3 + 2x_3 + 3x_1$

(3) $\sigma f = -(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = -f$

(4) $\sigma f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = f$