$a$ は正の実数であるとし、$x > 0$ における $x+a + \frac{4a^2}{x+a}$ の最小値を求め、また、$x > 0$ において $\frac{x^2 + 6x + 13}{x+2}$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ は正の実数であるとし、$x > 0$ における $x+a + \frac{4a^2}{x+a}$ の最小値を求め、また、$x > 0$ において $\frac{x^2 + 6x + 13}{x+2}$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x+a + \frac{4a^2}{x+a}$ の最小値を求めます。$x > 0$ であり、$a > 0$ なので、$x+a > 0$ です。相加相乗平均の不等式より、

$$x+a + \frac{4a^2}{x+a} \geq 2\sqrt{(x+a) \cdot \frac{4a^2}{x+a}} = 2\sqrt{4a^2} = 4a$$

等号成立は $x+a = \frac{4a^2}{x+a}$ のときなので、 $(x+a)^2 = 4a^2$ より $x+a = 2a$ となります ($x+a > 0$ より)。 よって $x = a$ のとき最小値 $4a$ をとります。

次に、$\frac{x^2 + 6x + 13}{x+2}$ の最小値を求めます。

$$\frac{x^2 + 6x + 13}{x+2} = \frac{x^2 + 2x + 4x + 8 + 5}{x+2} = \frac{x(x+2) + 4(x+2) + 5}{x+2} = x+4 + \frac{5}{x+2} = (x+2) + \frac{5}{x+2} + 2$$

$x > 0$ なので $x+2 > 2$ です。相加相乗平均の不等式より、

$$(x+2) + \frac{5}{x+2} \geq 2\sqrt{(x+2) \cdot \frac{5}{x+2}} = 2\sqrt{5}$$

よって、

$$\frac{x^2 + 6x + 13}{x+2} = (x+2) + \frac{5}{x+2} + 2 \geq 2\sqrt{5} + 2$$

等号成立は $x+2 = \frac{5}{x+2}$ のときなので、 $(x+2)^2 = 5$ より $x+2 = \sqrt{5}$ となります ($x+2 > 0$ より)。 よって $x = \sqrt{5} - 2$ のとき最小値 $2\sqrt{5}+2$ をとります。

3. 最終的な答え

$x+a + \frac{4a^2}{x+a}$ の最小値は $4a$

$\frac{x^2 + 6x + 13}{x+2}$ は $x=\sqrt{5}-2$ のとき最小値 $2\sqrt{5}+2$ をとる。