2次不等式 $ax^2 + 4x + a - 3 > 0$ が、すべての実数 $x$ について常に成り立つようなパラメータ $a$ の範囲を求める問題です。ただし、$a \neq 0$ とします。

## 問題E

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + 4x + a - 3 > 0$ が、すべての実数 $x$ について常に成り立つようなパラメータ $a$ の範囲を求める問題です。ただし、$a \neq 0$ とします。

2. 解き方の手順

2次不等式が常に成り立つためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

* $a > 0$ (下に凸)

* 判別式 $D < 0$

判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ であり、この問題では $b = 4$, $c = a-3$ なので、

$D = 4^2 - 4a(a-3) = 16 - 4a^2 + 12a$ となります。

したがって、$D < 0$ は $16 - 4a^2 + 12a < 0$ となります。

これを整理すると、$4a^2 - 12a - 16 > 0$ となり、$a^2 - 3a - 4 > 0$ となります。

因数分解すると、$(a-4)(a+1) > 0$ となります。

この不等式を解くと、$a < -1$ または $4 < a$ となります。

条件 $a > 0$ も考慮すると、$4 < a$ が得られます。

3. 最終的な答え

3

## 問題F

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = -x^2 - 3ax + 4$ （定義域 $-1 \leq x \leq 2$）について、最大値が頂点となるような $a$ の範囲と、$a = 1/2$ のときの関数 $f(x)$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 + 3ax) + 4 = -(x + \frac{3}{2}a)^2 + (\frac{3}{2}a)^2 + 4 = -(x + \frac{3}{2}a)^2 + \frac{9}{4}a^2 + 4$

頂点のx座標は $x = -\frac{3}{2}a$ です。

最大値が頂点となるためには、頂点のx座標が定義域内にある必要があります。

すなわち、$-1 \leq -\frac{3}{2}a \leq 2$ を満たす必要があります。

これを解くと、

$-1 \leq -\frac{3}{2}a \implies \frac{2}{3} \geq a$

$-\frac{3}{2}a \leq 2 \implies a \geq -\frac{4}{3}$

したがって、$-\frac{4}{3} \leq a \leq \frac{2}{3}$ となります。

次に、$a = \frac{1}{2}$ のときの $f(x)$ の最大値を求めます。

$f(x) = -x^2 - \frac{3}{2}x + 4$

頂点のx座標は $x = -\frac{3}{4}$ です。

$f(-\frac{3}{4}) = -(-\frac{3}{4})^2 - \frac{3}{2}(-\frac{3}{4}) + 4 = -\frac{9}{16} + \frac{9}{8} + 4 = -\frac{9}{16} + \frac{18}{16} + \frac{64}{16} = \frac{73}{16}$

3. 最終的な答え

22： $-\frac{4}{3}$

23： $\frac{2}{3}$

24： $\frac{73}{16}$