与えられた行列 $ \begin{bmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 0 & a \end{bmatrix} $ の階数（ランク）を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列

$$

\begin{bmatrix}

a & 1 & 0 \\

0 & a & 1 \\

1 & 0 & a

\end{bmatrix}

$$

の階数（ランク）を求めます。

2. 解き方の手順

行列の階数は、行列式が0でない最大の小行列のサイズです。まず、与えられた3x3行列の行列式を計算します。

行列式を計算するためにサラスの公式を用いると、

$$

\det \begin{bmatrix}

a & 1 & 0 \\

0 & a & 1 \\

1 & 0 & a

\end{bmatrix} = a(a^2 - 0) - 1(0 - 1) + 0(0 - a) = a^3 + 1

$$

行列式が$a^3 + 1 = 0$のとき、階数は3未満になります。

$a^3 + 1 = (a+1)(a^2 -a +1) = 0$より、$a = -1$または$a^2 -a +1 = 0$です。

$a^2 -a +1 = 0$を解くと、$a = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$となり、$a$が実数という条件のもとでは$a=-1$のみが該当します。

- $a \neq -1$のとき、行列式は0でないので、階数は3です。

- $a = -1$のとき、行列は

$$

\begin{bmatrix}

-1 & 1 & 0 \\

0 & -1 & 1 \\

1 & 0 & -1

\end{bmatrix}

$$

となります。この場合、行列式は0です。次に、2x2の小行列を考えます。例えば、

$$

\begin{vmatrix}

-1 & 1 \\

0 & -1

\end{vmatrix} = 1

$$

これは0ではないので、階数は2です。

まとめると、

- $a \neq -1$のとき、階数は3です。

- $a = -1$のとき、階数は2です。

3. 最終的な答え

- $a \neq -1$のとき、階数は3

- $a = -1$のとき、階数は2