放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ と $y = -x^2$ があり、直線 $l: y = x$ と $m: y = -\frac{2}{3}x$ がある。これらの交点をA, B, C, Dとする。以下の問いに答える。 (1) 点A, B, C, Dの座標をそれぞれ求めよ。 (2) AC: BDを求めよ。 (3) $\triangle OAC$ の面積を求めよ。 (4) 四角形ACBDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ と $y = -x^2$ があり、直線 $l: y = x$ と $m: y = -\frac{2}{3}x$ がある。これらの交点をA, B, C, Dとする。以下の問いに答える。

(1) 点A, B, C, Dの座標をそれぞれ求めよ。

(2) AC: BDを求めよ。

(3) $\triangle OAC$ の面積を求めよ。

(4) 四角形ACBDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A, B, C, Dの座標を求める。

点Aは $y = \frac{1}{3}x^2$ と $y = x$ の交点であるから、

$\frac{1}{3}x^2 = x$

$x^2 = 3x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

$x=0$は原点なので、点Aのx座標は3。

$y = x$より、点Aのy座標は3。

よって、点Aの座標は(3, 3)。

点Bは $y = -x^2$ と $y = x$ の交点であるから、

$-x^2 = x$

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

$x = 0, -1$

$x=0$は原点なので、点Bのx座標は-1。

$y = x$より、点Bのy座標は-1。

よって、点Bの座標は(-1, -1)。

点Cは $y = \frac{1}{3}x^2$ と $y = -\frac{2}{3}x$ の交点であるから、

$\frac{1}{3}x^2 = -\frac{2}{3}x$

$x^2 = -2x$

$x^2 + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

$x = 0, -2$

$x=0$は原点なので、点Cのx座標は-2。

$y = -\frac{2}{3}x$より、点Cのy座標は $-\frac{2}{3} \times (-2) = \frac{4}{3}$。

よって、点Cの座標は$(-2, \frac{4}{3})$。

点Dは $y = -x^2$ と $y = -\frac{2}{3}x$ の交点であるから、

$-x^2 = -\frac{2}{3}x$

$x^2 = \frac{2}{3}x$

$x^2 - \frac{2}{3}x = 0$

$x(x - \frac{2}{3}) = 0$

$x = 0, \frac{2}{3}$

$x=0$は原点なので、点Dのx座標は $\frac{2}{3}$。

$y = -\frac{2}{3}x$より、点Dのy座標は $-\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = -\frac{4}{9}$。

よって、点Dの座標は $(\frac{2}{3}, -\frac{4}{9})$。

(2) AC: BDを求める。

$AC = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (3 - \frac{4}{3})^2} = \sqrt{5^2 + (\frac{5}{3})^2} = \sqrt{25 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{225 + 25}{9}} = \sqrt{\frac{250}{9}} = \frac{5\sqrt{10}}{3}$

$BD = \sqrt{(-1 - \frac{2}{3})^2 + (-1 - (-\frac{4}{9}))^2} = \sqrt{(-\frac{5}{3})^2 + (-\frac{5}{9})^2} = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{25}{81}} = \sqrt{\frac{225 + 25}{81}} = \sqrt{\frac{250}{81}} = \frac{5\sqrt{10}}{9}$

$AC : BD = \frac{5\sqrt{10}}{3} : \frac{5\sqrt{10}}{9} = \frac{1}{3} : \frac{1}{9} = 3 : 1$

(3) $\triangle OAC$ の面積を求める。

$O(0, 0), A(3, 3), C(-2, \frac{4}{3})$

$\triangle OAC = \frac{1}{2} | (0 \times (3 - \frac{4}{3}) + 3 \times (\frac{4}{3} - 0) + (-2) \times (0 - 3) ) | = \frac{1}{2} | (0 + 4 + 6) | = \frac{1}{2} | 10 | = 5$

(4) 四角形ACBDの面積を求める。

四角形ACBDは、対角線が直交しているとは限らないので、面積を直接計算することは難しい。原点を通る２つの直線なので、四角形ACBDは原点に関して対称である。したがって、四角形ACBDの面積は $\triangle OAC$ の面積の2倍になる。

四角形ACBDの面積 = $\triangle OAC$の面積 $\times 2$ + $\triangle OBD$の面積 $\times 2$

$=2(\triangle OAC + \triangle OBD)$

$\triangle OBD = \frac{1}{2} | (0 \times (-1+\frac{4}{9}) + (-1) \times (-\frac{4}{9} - 0) + \frac{2}{3} \times (0 - (-1)) | = \frac{1}{2} | (0 + \frac{4}{9} + \frac{2}{3}) | = \frac{1}{2} | (\frac{4+6}{9}) | = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} = \frac{5}{9}$

面積 = $\triangle OAC + \triangle OBD = 5 + \frac{5}{9} = \frac{45+5}{9} = \frac{50}{9}$

四角形ACBDの面積は $\frac{50}{9}\times 2 = \frac{100}{9}$

3. 最終的な答え

(1) A(3, 3), B(-1, -1), C(-2, 4/3), D(2/3, -4/9)

(2) AC : BD = 3 : 1

(3) △OACの面積 = 5

(4) 四角形ACBDの面積 = 100/9