与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} x - 3y - z = a \\ -x + 4y - z = b \\ 2x - 9y + 4z = a - b \end{cases} $ を行列を用いて解く。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$$

\begin{cases}

x - 3y - z = a \\

-x + 4y - z = b \\

2x - 9y + 4z = a - b

\end{cases}

$$

を行列を用いて解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を行列の形で表す。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -3 & -1 \\

-1 & 4 & -1 \\

2 & -9 & 4

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

a \\

b \\

a-b

\end{pmatrix}

$$

この行列を $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ と表す。ここで、

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & -3 & -1 \\

-1 & 4 & -1 \\

2 & -9 & 4

\end{pmatrix},

\mathbf{x} = \begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix},

\mathbf{b} = \begin{pmatrix}

a \\

b \\

a-b

\end{pmatrix}

$$

行列 $A$ の行列式 $\det(A)$ を計算する。

$$

\det(A) = 1(4 \cdot 4 - (-1) \cdot (-9)) - (-3)((-1) \cdot 4 - (-1) \cdot 2) + (-1)((-1) \cdot (-9) - 4 \cdot 2) \\

= 1(16 - 9) + 3(-4 + 2) - 1(9 - 8) \\

= 7 + 3(-2) - 1 \\

= 7 - 6 - 1 = 0

$$

$\det(A) = 0$ なので、クラメルの公式は使えない。

連立一次方程式を直接解くことを試みる。

第一式と第二式を足すと、

$(x - 3y - z) + (-x + 4y - z) = a + b$

$y - 2z = a + b$

$y = a + b + 2z$

第一式に代入して、

$x - 3(a + b + 2z) - z = a$

$x - 3a - 3b - 6z - z = a$

$x = 4a + 3b + 7z$

これらを第三式に代入して、

$2(4a + 3b + 7z) - 9(a + b + 2z) + 4z = a - b$

$8a + 6b + 14z - 9a - 9b - 18z + 4z = a - b$

$-a - 3b = a - b$

$-2a - 2b = 0$

$a + b = 0$

$b = -a$

$a+b=0$のとき、解は無数に存在する。$z=t$とおくと、

$y = a + b + 2z = 2t$

$x = 4a + 3b + 7z = 4a - 3a + 7t = a + 7t$

したがって、解は

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+7t \\ 2t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$a + b = 0$のとき解を持ち、解は

$x = a + 7t, y = 2t, z = t$ ( $t$ は任意の実数)

となる。

$a+b \neq 0$のとき解は存在しない。