与えられた行列式の値を計算する問題です。行列式は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算する問題です。行列式は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

3 & 2 & 5 & 7 \\

3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\

3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

この行列式はヴァンデルモンド行列式と呼ばれる特別な形をしています。一般に、ヴァンデルモンド行列式は次のように表されます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix}

= \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)

$$

この問題の場合、$x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 5, x_4 = 7$ であり、$n = 4$ です。したがって、行列式は次のようになります。

$$

\begin{aligned}

\prod_{1 \le i < j \le 4} (x_j - x_i) &= (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_4 - x_1)(x_3 - x_2)(x_4 - x_2)(x_4 - x_3) \\

&= (2 - 3)(5 - 3)(7 - 3)(5 - 2)(7 - 2)(7 - 5) \\

&= (-1)(2)(4)(3)(5)(2) \\

&= -240

\end{aligned}

$$

3. 最終的な答え

与えられた行列式の値は $-240$ です。