(1) 関数 $y = ax^2$ ($a > 0$) と $y = -\frac{1}{4}x^2$ のグラフがあり、それぞれのグラフ上に $x$ 座標が $2$ である点A, B が存在する。線分AB の長さが 4 となるとき、$a$ の値を求める。 (2) 関数 $y = x^2$ と $y = -\frac{1}{2}x^2$ 上にそれぞれ点A, C (Aの$x$座標は正)をとり、$AB // x$軸となるように点B, Dをとって長方形ABCDを作る。この長方形ABCDの周の長さが15であるとき、点Aの座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = ax^2$ ($a > 0$) と $y = -\frac{1}{4}x^2$ のグラフがあり、それぞれのグラフ上に $x$ 座標が $2$ である点A, B が存在する。線分AB の長さが 4 となるとき、$a$ の値を求める。

(2) 関数 $y = x^2$ と $y = -\frac{1}{2}x^2$ 上にそれぞれ点A, C (Aの$x$座標は正)をとり、$AB // x$軸となるように点B, Dをとって長方形ABCDを作る。この長方形ABCDの周の長さが15であるとき、点Aの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Aの座標は $(2, a(2^2)) = (2, 4a)$

点Bの座標は $(2, -\frac{1}{4}(2^2)) = (2, -1)$

線分ABの長さは、y座標の差の絶対値であるから、

$|4a - (-1)| = |4a + 1| = 4$

$4a + 1 = 4$ または $4a + 1 = -4$

$4a = 3$ または $4a = -5$

$a = \frac{3}{4}$ または $a = -\frac{5}{4}$

ただし、$a > 0$ より、$a = \frac{3}{4}$

(2)

点Aの座標を $(t, t^2)$ （$t>0$）とする。

点Bの座標は $(t, -\frac{1}{2}t^2)$

線分ABの長さは $t^2 - (-\frac{1}{2}t^2) = t^2 + \frac{1}{2}t^2 = \frac{3}{2}t^2$

長方形ABCDにおいて、AB//x軸であるから、ADの長さは $2t$

長方形ABCDの周の長さは $2 \times (\frac{3}{2}t^2 + 2t) = 3t^2 + 4t$

$3t^2 + 4t = 15$

$3t^2 + 4t - 15 = 0$

$(3t - 5)(t + 3) = 0$

$t = \frac{5}{3}$ または $t = -3$

$t > 0$ より、$t = \frac{5}{3}$

点Aの座標は $(t, t^2) = (\frac{5}{3}, (\frac{5}{3})^2) = (\frac{5}{3}, \frac{25}{9})$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3}{4}$

(2) $(\frac{5}{3}, \frac{25}{9})$