与えられた2つの行列について、一方の行列式が正であり、もう一方の行列式が0とならないような $x$ の値を求める問題です。最初の行列は2x2の行列で、その成分は $x$ の式で表されています。2番目の行列は3x3の行列で、その成分も $x$ の式で表されています。

1. 問題の内容

与えられた2つの行列について、一方の行列式が正であり、もう一方の行列式が0とならないような $x$ の値を求める問題です。最初の行列は2x2の行列で、その成分は $x$ の式で表されています。2番目の行列は3x3の行列で、その成分も $x$ の式で表されています。

2. 解き方の手順

まず、最初の2x2行列の行列式を計算します。

$det\begin{bmatrix} x+2 & x+1 \\ x^2 & x^2-1 \end{bmatrix} = (x+2)(x^2-1) - (x+1)x^2 = x^3 + 2x^2 - x - 2 - x^3 - x^2 = x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

この行列式が正になる条件は、$(x-2)(x+1) > 0$ です。

これを解くと、$x < -1$ または $x > 2$ となります。

次に、2番目の3x3行列の行列式を計算します。行列式が0となる $x$ を求めます。

$det\begin{bmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{bmatrix}$

行列式を計算します。

$(2-x)((3-x)(-6-x) - (-4)(5)) - 4(3(-6-x) - (-4)(3)) + (-4)(3(5) - (3-x)(3))$

$= (2-x)(-18-3x+6x+x^2+20) - 4(-18-3x+12) - 4(15 - (9-3x))$

$= (2-x)(x^2+3x+2) - 4(-6-3x) - 4(6+3x)$

$= (2-x)(x+1)(x+2) - 4(-6-3x) - 4(6+3x)$

$= (2-x)(x^2+3x+2) + 24 + 12x - 24 - 12x$

$= 2x^2+6x+4 - x^3 - 3x^2 - 2x$

$= -x^3 - x^2 + 4x + 4$

$= -(x^3 + x^2 - 4x - 4)$

$= -(x^2(x+1) - 4(x+1))$

$= -(x+1)(x^2-4)$

$= -(x+1)(x-2)(x+2)$

この行列式が0となる条件は、$-(x+1)(x-2)(x+2) = 0$ です。

これを解くと、$x = -1, x = 2, x = -2$ となります。

最初の行列式が正となる条件と、2番目の行列式が0にならない条件を合わせます。

$x < -1$ または $x > 2$ であり、$x \neq -1, x \neq 2, x \neq -2$ である必要があります。

したがって、$x < -1$ の場合は $x < -2$ または $-2 < x < -1$ となり、$x > 2$ の場合は $x > 2$ となります。

3. 最終的な答え

$x < -2$ または $-2 < x < -1$ または $x > 2$