n次正方行列AとBの行列式をそれぞれ求めます。ただし、Aは対角成分が1、それ以外の成分がxの実数である行列で、Bは対角成分が2、その上下の対角成分が1、それ以外の成分が0である帯行列です。

1. 問題の内容

n次正方行列AとBの行列式をそれぞれ求めます。ただし、Aは対角成分が1、それ以外の成分がxの実数である行列で、Bは対角成分が2、その上下の対角成分が1、それ以外の成分が0である帯行列です。

2. 解き方の手順

**行列Aの行列式を求める**

まず、Aの行列式を計算します。Aは以下の形をしています。

$A = \begin{bmatrix}

1 & x & x & \cdots & x \\

x & 1 & x & \cdots & x \\

x & x & 1 & \cdots & x \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x & x & x & \cdots & 1

\end{bmatrix}$

Aの各行から1行目を引きます。

$\begin{vmatrix}

1 & x & x & \cdots & x \\

x & 1 & x & \cdots & x \\

x & x & 1 & \cdots & x \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x & x & x & \cdots & 1

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

1 & x & x & \cdots & x \\

x-1 & 1-x & 0 & \cdots & 0 \\

x-1 & 0 & 1-x & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x-1 & 0 & 0 & \cdots & 1-x

\end{vmatrix}$

次に、2行目からn行目までの各行を1行目に足します。

$\begin{vmatrix}

1+(n-1)(x-1) & x+(1-x)+(n-2)*0 & x + (n-2)*0 & \cdots & x + (n-2)*0 \\

x-1 & 1-x & 0 & \cdots & 0 \\

x-1 & 0 & 1-x & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x-1 & 0 & 0 & \cdots & 1-x

\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}

1+(n-1)(x) - (n-1) & x+(1-x) & x & \cdots & x \\

x-1 & 1-x & 0 & \cdots & 0 \\

x-1 & 0 & 1-x & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x-1 & 0 & 0 & \cdots & 1-x

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

1+(n-1)(x)-(n-1) & 1 & x & \cdots & x \\

x-1 & 1-x & 0 & \cdots & 0 \\

x-1 & 0 & 1-x & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x-1 & 0 & 0 & \cdots & 1-x

\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}

1+nx-x-n+1 & 1 & x & \cdots & x \\

x-1 & 1-x & 0 & \cdots & 0 \\

x-1 & 0 & 1-x & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x-1 & 0 & 0 & \cdots & 1-x

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

nx-x-n+2 & 1 & x & \cdots & x \\

x-1 & 1-x & 0 & \cdots & 0 \\

x-1 & 0 & 1-x & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x-1 & 0 & 0 & \cdots & 1-x

\end{vmatrix}$

1列目から2列目以降をそれぞれ引く操作で簡略化します。

すると$Det(A) = (1-x)^{n-1}(1+(n-1)x)$を得ます。

**行列Bの行列式を求める**

行列Bの行列式を$D_n$とします。$D_n$は次の漸化式を満たします。

$D_1 = 2$

$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4-1=3$

$D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$

特性方程式は $t^2 - 2t + 1 = 0$ で、$(t-1)^2=0$なので、$t=1$（重解）。

したがって、$D_n = (An + B) \cdot 1^n = An + B$という形になります。

$D_1 = A+B = 2$

$D_2 = 2A+B = 3$

上の式から下の式を引くと、$A=1$。これを$D_1$の式に代入すると、$1+B=2$より$B=1$。

よって、$D_n = n+1$。

3. 最終的な答え

行列Aの行列式: $(1-x)^{n-1}(1+(n-1)x)$

行列Bの行列式: $n+1$