$a$ は自然数である。2次方程式 $x^2 + 2ax - a - 2 = 0$ の異なる2つの実数解がともに2より大きいとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は自然数である。2次方程式 $x^2 + 2ax - a - 2 = 0$ の異なる2つの実数解がともに2より大きいとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 + 2ax - a - 2 = 0$ を $f(x) = x^2 + 2ax - a - 2$ とする。

2つの実数解を $\alpha, \beta$ とし、$\alpha > 2$ かつ $\beta > 2$ となる条件を考える。

そのためには、以下の条件が満たされなければならない。

(1) 判別式 $D > 0$ （異なる2つの実数解を持つため）

(2) 軸 $x = -a > 2$ は成り立たない。軸 $x = -a > 2$ は $-a > 2$, つまり $a < -2$ となるが、$a$は自然数なので、これはありえない。軸の条件を満たすことはない。

(3) $f(2) > 0$

(1) 判別式について

$D = (2a)^2 - 4(1)(-a-2) = 4a^2 + 4a + 8 > 0$

$a^2 + a + 2 > 0$

$a^2 + a + 2 = (a + \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4} > 0$

これはすべての実数 $a$ に対して成り立つ。

(2) 軸について

$f(x) = x^2 + 2ax - a - 2$ の軸は $x = -a$ である。

問題文より、2つの実数解がともに2より大きいことが条件なので、軸 $x=-a$ は $-a>2$ でなければならない。しかし、$a$ は自然数なので、$a$ は正であり、$x = -a$ は負の値である。したがって、$x = -a$ は2より小さい。

(3) $f(2) > 0$ について

$f(2) = 2^2 + 2a(2) - a - 2 = 4 + 4a - a - 2 = 3a + 2 > 0$

$3a > -2$

$a > -\frac{2}{3}$

$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持つとき、$\alpha > 2$ かつ $\beta > 2$ となるための条件は、

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) $f(2) > 0$

(iii) 軸 $-a > 2$

上記より、 $D>0$ は常に成り立つ。$f(2) > 0$ より、$a > -\frac{2}{3}$ である。しかし、軸の条件 $-a > 2$ を満たす $a$ は存在しない。2つの解がともに2より大きくなるためには、$f(2) > 0$ だけでなく、軸が2より大きい必要があった。

しかし、問題文からすると、$x^2 + 2ax - a - 2 = 0$ の異なる2つの実数解がともに2より大きいとき、$a$ の値を求めよ、となっているので、2次関数のグラフを考えると、軸が $x= -a$ であり、$a$ が自然数であることから、$a > 0$ である。したがって、軸は負の値であるので、$x = -a$ は必ず2より小さい。よって、解は存在しない。

3. 最終的な答え

解なし