次の2つの式を計算します。 (1) $(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)$ (2) $(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3$

1. 問題の内容

次の2つの式を計算します。

(1) $(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)$

(2) $(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式を展開し、整理します。

$(x-b)(x-c)(b-c) + (x-c)(x-a)(c-a) + (x-a)(x-b)(a-b)$

$= (x^2 - (b+c)x + bc)(b-c) + (x^2 - (c+a)x + ca)(c-a) + (x^2 - (a+b)x + ab)(a-b)$

$= x^2(b-c) - (b+c)x(b-c) + bc(b-c) + x^2(c-a) - (c+a)x(c-a) + ca(c-a) + x^2(a-b) - (a+b)x(a-b) + ab(a-b)$

$= x^2(b-c+c-a+a-b) - x((b^2-c^2) + (c^2-a^2) + (a^2-b^2)) + (bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b))$

$= x^2(0) - x(0) + (bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b))$

$= bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b)$

$= b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2$

$= b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

(2)

$A = x+y+2z$, $B = y+2z-x$, $C = 2z+x-y$, $D = x+y-2z$ とおくと、与えられた式は $A^3-B^3-C^3-D^3$ となります。

ここで、$A-B = (x+y+2z) - (y+2z-x) = 2x$, $A-C = (x+y+2z) - (2z+x-y) = 2y$, $A-D = (x+y+2z) - (x+y-2z) = 4z$.

また、$A = x+y+2z$, $B = y+2z-x$, $C = 2z+x-y$, $D = x+y-2z$ について、$A = B+2x = C+2y = D+4z$.

さらに、$A+B = 2y+4z$, $C+D = 2x+2y$, $B+C = 4z$, $A+D = 2x+2y$.

$A-B = 2x$, $A-C = 2y$, $A-D = 4z$.

$A = B+2x = C+2y = D+4z$.

$A^3-B^3-C^3-D^3 = (B+2x)^3 - B^3 - (C+2y)^3 - (D+4z)^3 =$

また、$B+C+D = (y+2z-x) + (2z+x-y) + (x+y-2z) = x+y+2z = A$.

したがって、$A-B = 2x$, $A-C = 2y$, $A-D = 4z$, $A = B+C+D$.

$A^3 - B^3 - C^3 - D^3 = (B+C+D)^3 - B^3 - C^3 - D^3$

$= (B+C+D)^3 - B^3 - C^3 - D^3$

$= B^3 + C^3 + D^3 + 3(B+C)(C+D)(D+B) - B^3 - C^3 - D^3$

$= 3(B+C)(C+D)(D+B)$

$= 3(y+2z-x+2z+x-y)(2z+x-y+x+y-2z)(x+y-2z+y+2z-x)$

$= 3(4z)(2x)(2y) = 48xyz$

3. 最終的な答え

(1) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $48xyz$