(1) $\frac{1}{3-\sqrt{7}}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めよ。 (2) $\frac{8}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{3-\sqrt{7}}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めよ。

(2) $\frac{8}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$ を有理化します。

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\frac{1}{3-\sqrt{7}} = \frac{1}{3-\sqrt{7}} \cdot \frac{3+\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}} = \frac{3+\sqrt{7}}{9-7} = \frac{3+\sqrt{7}}{2}

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$\sqrt{7}$ の近似値を考えます。$2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$ なので、$2 < \sqrt{7} < 3$ です。より正確には、$2.6^2 = 6.76 < 7 < 7.29 = 2.7^2$ なので、$2.6 < \sqrt{7} < 2.7$ です。したがって、$\sqrt{7} \approx 2.6$ と近似できます。

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\frac{3+\sqrt{7}}{2} \approx \frac{3+2.6}{2} = \frac{5.6}{2} = 2.8

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$\sqrt{7}$ の範囲を使って、$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$ の範囲を求めます。

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\frac{3+2.6}{2} < \frac{3+\sqrt{7}}{2} < \frac{3+2.7}{2}

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2.8 < \frac{3+\sqrt{7}}{2} < 2.85

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したがって、整数部分は $a = 2$ です。小数部分は $b = \frac{3+\sqrt{7}}{2} - 2 = \frac{3+\sqrt{7}-4}{2} = \frac{\sqrt{7}-1}{2}$ です。

(2)

まず、$\frac{8}{\sqrt{5}-1}$ を有理化します。

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\frac{8}{\sqrt{5}-1} = \frac{8}{\sqrt{5}-1} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{8(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{8(\sqrt{5}+1)}{4} = 2(\sqrt{5}+1) = 2\sqrt{5}+2

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$\sqrt{5}$ の近似値を考えます。$2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2$ なので、$2 < \sqrt{5} < 3$ です。より正確には、$2.2^2 = 4.84 < 5 < 5.29 = 2.3^2$ なので、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ です。したがって、$\sqrt{5} \approx 2.2$ と近似できます。

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2\sqrt{5}+2 \approx 2(2.2) + 2 = 4.4 + 2 = 6.4

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$\sqrt{5}$ の範囲を使って、$2\sqrt{5}+2$ の範囲を求めます。

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2(2.2)+2 < 2\sqrt{5}+2 < 2(2.3)+2

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6.4 < 2\sqrt{5}+2 < 6.6

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したがって、整数部分は $a = 6$ です。小数部分は $b = 2\sqrt{5}+2 - 6 = 2\sqrt{5}-4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a=2, b=\frac{\sqrt{7}-1}{2}$

(2) $a=6, b=2\sqrt{5}-4$