与えられた数学の問題を解き、空欄を埋める。問題は全部で5問あり、それぞれ以下の通りである。 (1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}}$ を計算し、簡単にする。 (2) $(3x-2y)^2 + (2x+3y)(-2x+3y)$ を展開し、整理する。 (3) $6x^2 - 19x - 20$ を因数分解する。 (4) 方程式 $|1-5x| = 4$ の解を求める。 (5) 連立不等式 $\begin{cases} 2x+0.7 > 0.4(1-x) \\ \frac{x-5}{7} + 1 \geq \frac{x-2}{5} \end{cases}$ の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解き、空欄を埋める。問題は全部で5問あり、それぞれ以下の通りである。

(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}}$ を計算し、簡単にする。

(2) $(3x-2y)^2 + (2x+3y)(-2x+3y)$ を展開し、整理する。

(3) $6x^2 - 19x - 20$ を因数分解する。

(4) 方程式 $|1-5x| = 4$ の解を求める。

(5) 連立不等式 $\begin{cases} 2x+0.7 > 0.4(1-x) \\ \frac{x-5}{7} + 1 \geq \frac{x-2}{5} \end{cases}$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}}$ を計算する。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9 \cdot 6}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{18}}{3 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{2}}{18} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

$\frac{5}{3\sqrt{2}} = \frac{5}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{5\sqrt{2}}{6}$

$\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{5\sqrt{2}}{6} = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}$

(2) $(3x-2y)^2 + (2x+3y)(-2x+3y)$ を展開し、整理する。

$(3x-2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$

$(2x+3y)(-2x+3y) = (3y+2x)(3y-2x) = 9y^2 - 4x^2$

$9x^2 - 12xy + 4y^2 + 9y^2 - 4x^2 = 5x^2 - 12xy + 13y^2$

(3) $6x^2 - 19x - 20$ を因数分解する。

$6x^2 - 19x - 20 = (2x-5)(3x+4)$

(4) 方程式 $|1-5x| = 4$ の解を求める。

$1-5x = 4$ または $1-5x = -4$

$1-5x = 4 \Rightarrow -5x = 3 \Rightarrow x = -\frac{3}{5}$

$1-5x = -4 \Rightarrow -5x = -5 \Rightarrow x = 1$

したがって、$x = -\frac{3}{5}, 1$

(5) 連立不等式 $\begin{cases} 2x+0.7 > 0.4(1-x) \\ \frac{x-5}{7} + 1 \geq \frac{x-2}{5} \end{cases}$ の解を求める。

$2x+0.7 > 0.4 - 0.4x \Rightarrow 2.4x > -0.3 \Rightarrow x > -\frac{0.3}{2.4} = -\frac{1}{8}$

$\frac{x-5}{7} + 1 \geq \frac{x-2}{5} \Rightarrow \frac{x-5+7}{7} \geq \frac{x-2}{5} \Rightarrow \frac{x+2}{7} \geq \frac{x-2}{5} \Rightarrow 5(x+2) \geq 7(x-2) \Rightarrow 5x+10 \geq 7x-14 \Rightarrow -2x \geq -24 \Rightarrow x \leq 12$

したがって、$-\frac{1}{8} < x \leq 12$

3. 最終的な答え

(ア) $\sqrt{2}$

(イ) $5x^2 - 12xy + 13y^2$

(ウ) $(2x-5)(3x+4)$

(エ) $x = -\frac{3}{5}, 1$

(オ) $-\frac{1}{8} < x \leq 12$