$f(x) = x^2 + 3x + m$ という関数があり、$m \le x \le m+2$ の範囲における最小値を $g$ とします。 (1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表してください。 (2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表してください。 (3) $m$ がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めてください。

## 数学の問題

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 + 3x + m$ という関数があり、$m \le x \le m+2$ の範囲における最小値を $g$ とします。

(1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表してください。

(2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表してください。

(3) $m$ がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めてください。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 + 3x + m$ を平方完成します。

$f(x) = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + m$

これにより、軸は $x = -\frac{3}{2}$ であることがわかります。

(1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき

この場合、軸 $x = -\frac{3}{2}$ は区間 $[m, m+2]$ の左側にあります。なぜなら、$m > -\frac{3}{2}$ より、$m > -\frac{3}{2}$ だからです。したがって、$x$ が区間の左端 $m$ で最小値をとります。

$g = f(m) = m^2 + 3m + m = m^2 + 4m$

(2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき

この場合、軸 $x = -\frac{3}{2}$ が区間 $[m, m+2]$ に含まれるかどうかで場合分けが必要です。

$m \le -\frac{3}{2} \le m+2$ が成り立つとき、つまり $-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$ のとき、軸が区間に含まれるので、頂点で最小値をとります。

$g = f(-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{4} + m$

$m+2 < -\frac{3}{2}$ が成り立つとき、つまり $m < -\frac{7}{2}$ のとき、軸は区間の右側にあります。したがって、$x$ が区間の右端 $m+2$ で最小値をとります。

$g = f(m+2) = (m+2)^2 + 3(m+2) + m = m^2 + 4m + 4 + 3m + 6 + m = m^2 + 8m + 10$

したがって、

$m \le -\frac{7}{2}$ のとき、$g = m^2 + 8m + 10$

$-\frac{7}{2} < m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g = -\frac{9}{4} + m$

まとめると、

$m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g = m^2 + 4m$

$m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g = \begin{cases} m^2 + 8m + 10 & (m \le -\frac{7}{2}) \\ -\frac{9}{4} + m & (-\frac{7}{2} < m \le -\frac{3}{2}) \end{cases}$

(3) $m$ がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めます。

まず、$m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g = m^2 + 4m = (m+2)^2 - 4$ であり、$m > -\frac{3}{2}$ なので、$g > (-\frac{3}{2} + 2)^2 - 4 = (\frac{1}{2})^2 - 4 = \frac{1}{4} - 4 = -\frac{15}{4}$

次に、$m \le -\frac{3}{2}$ のとき、

$m \le -\frac{7}{2}$ なら、$g = m^2 + 8m + 10 = (m+4)^2 - 6$ であり、$m = -4$ で最小値 $-6$ をとります。これは、$m \le -\frac{7}{2}$ を満たします。

$-\frac{7}{2} < m \le -\frac{3}{2}$ なら、$g = -\frac{9}{4} + m$ であり、$m = -\frac{7}{2}$ で最小値 $-\frac{9}{4} - \frac{7}{2} = -\frac{9}{4} - \frac{14}{4} = -\frac{23}{4} = -5.75$ をとります。$m = -\frac{3}{2}$ では、$g = -\frac{9}{4} - \frac{3}{2} = -\frac{9}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{15}{4}$ となります。

以上から、$g$ の最小値は $-6$ です。

3. 最終的な答え

(1) $g = m^2 + 4m$

(2) $g = \begin{cases} m^2 + 8m + 10 & (m \le -\frac{7}{2}) \\ -\frac{9}{4} + m & (-\frac{7}{2} < m \le -\frac{3}{2}) \end{cases}$

(3) $g$ の最小値: $-6$