与えられた6つの式の二重根号を外して簡単にせよという問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの式の二重根号を外して簡単にせよという問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

まず、$a + b = 7$ かつ $ab = 10$ を満たす $a$ と $b$ を探します。$a = 5$, $b = 2$ とすると条件を満たします。したがって、

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$

$4\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \sqrt{3} = 2\sqrt{12}$であるので、$\sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{12}}$と変形できます。

$a + b = 8$ かつ $ab = 12$ を満たす $a$ と $b$ を探します。$a = 6$, $b = 2$ とすると条件を満たします。したがって、

$\sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}}$

$6\sqrt{6} = 2 \cdot 3\sqrt{6} = 2\sqrt{54}$であるので、$\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{15 - 2\sqrt{54}}$と変形できます。

$a + b = 15$ かつ $ab = 54$ を満たす $a$ と $b$ を探します。$a = 9$, $b = 6$ とすると条件を満たします。したがって、

$\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{9} - \sqrt{6} = 3 - \sqrt{6}$

(4) $\sqrt{4 + \sqrt{12}}$

$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$であるので、$\sqrt{4 + \sqrt{12}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$と変形できます。

$a + b = 4$ かつ $ab = 3$ を満たす $a$ と $b$ を探します。$a = 3$, $b = 1$ とすると条件を満たします。したがって、

$\sqrt{4 + \sqrt{12}} = \sqrt{3} + 1$

(5) $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$と変形します。

$a + b = 4$ かつ $ab = 3$ を満たす $a$ と $b$ を探します。$a = 3$, $b = 1$ とすると条件を満たします。したがって、

$\frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

(6) $\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}$

$\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12 - 6\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$と変形します。

$6\sqrt{3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{27}$であるので、$\frac{\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{12 - 2\sqrt{27}}}{\sqrt{2}}$と変形できます。

$a + b = 12$ かつ $ab = 27$ を満たす $a$ と $b$ を探します。$a = 9$, $b = 3$ とすると条件を満たします。したがって、

$\frac{\sqrt{12 - 2\sqrt{27}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

(3) $3 - \sqrt{6}$

(4) $\sqrt{3} + 1$

(5) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

(6) $\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$