2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 8$ と1次関数 $g(x) = px$ ($p > 0$) がある。2つの関数の差 $h(x) = g(x) - f(x)$ について、以下の問いに答えなさい。 (1) $p = 10$ のとき、$h(x)$ を最大にする $x$ の値を求めなさい。 (2) $h(x)$ を最大にする $x$ の値を $t$ で表すと、$p$ と $t$ の関係を求めなさい。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 8$ と1次関数 $g(x) = px$ ($p > 0$) がある。2つの関数の差 $h(x) = g(x) - f(x)$ について、以下の問いに答えなさい。

(1) $p = 10$ のとき、$h(x)$ を最大にする $x$ の値を求めなさい。

(2) $h(x)$ を最大にする $x$ の値を $t$ で表すと、$p$ と $t$ の関係を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $p = 10$ のとき、$g(x) = 10x$ であり、$h(x) = g(x) - f(x) = 10x - (x^2 - 2x + 8) = -x^2 + 12x - 8$ となる。

$h(x)$ を平方完成すると、

$h(x) = -(x^2 - 12x) - 8 = -(x^2 - 12x + 36) + 36 - 8 = -(x - 6)^2 + 28$

したがって、$h(x)$ を最大にする $x$ の値は $6$ である。

(2) $h(x) = g(x) - f(x) = px - (x^2 - 2x + 8) = -x^2 + (p + 2)x - 8$

$h(x)$ を平方完成すると、

$h(x) = -(x^2 - (p+2)x) - 8 = -\left(x^2 - (p+2)x + \left(\frac{p+2}{2}\right)^2\right) + \left(\frac{p+2}{2}\right)^2 - 8 = -\left(x - \frac{p+2}{2}\right)^2 + \frac{(p+2)^2}{4} - 8$

したがって、$h(x)$ を最大にする $x$ の値は $t = \frac{p+2}{2}$ である。

$t = \frac{p+2}{2}$ より、$2t = p + 2$。よって、$p = 2t - 2$。これを $t = \alpha p + 1$ の形にしたいので、

$t = \frac{1}{2}p + 1$

従って、$p$ と $t$ の関係は、$t = \frac{1}{2}p + 1$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 15: 6

(2) 16: 1/2