与えられた行列 $A$ が正則であるかどうかを判定し、正則である場合は逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。与えられた行列は全部で6つあります。ここでは例として(1)と(2)について解きます。 (1) $A = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$ (2) $A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{bmatrix}$

## 行列の正則性と逆行列

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ が正則であるかどうかを判定し、正則である場合は逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。与えられた行列は全部で6つあります。ここでは例として(1)と(2)について解きます。

(1) $A = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$

(2) $A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ が正則であるかどうかは、その行列式 $\det(A)$ が 0 でないかどうかで判定できます。$\det(A) \neq 0$ であれば、行列 $A$ は正則であり、逆行列が存在します。

2x2 行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ の行列式は $\det(A) = ad - bc$ で計算できます。

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ で計算できます。

**(1) の行列の計算**

行列式を計算します。

$\det(A) = (5)(3) - (-7)(-2) = 15 - 14 = 1$

$\det(A) = 1 \neq 0$ なので、$A$ は正則です。

逆行列を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$

**(2) の行列の計算**

行列式を計算します。

$\det(A) = (4)(6) - (3)(8) = 24 - 24 = 0$

$\det(A) = 0$ なので、$A$ は正則ではありません。したがって、逆行列は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$ は正則であり、逆行列は $A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ です。

(2) 行列 $A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{bmatrix}$ は正則ではなく、逆行列は存在しません。