与えられた行列 $\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。 (3) 指数関数 $e^X = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}X^n$ を用いて、$e^{i\theta \sigma_y}$ を $\theta$ で表す。 (4) $e^{i\theta \sigma_y}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。

(3) 指数関数 $e^X = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}X^n$ を用いて、$e^{i\theta \sigma_y}$ を $\theta$ で表す。

(4) $e^{i\theta \sigma_y}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(3) まず $\sigma_y^2$ を計算する。

$\sigma_y^2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$

よって、$\sigma_y^{2n} = E$、$\sigma_y^{2n+1} = \sigma_y$ となる。

$e^{i\theta \sigma_y} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta \sigma_y)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^{2n} \sigma_y^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^{2n+1} \sigma_y^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\theta^2)^n}{(2n)!} E + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i(-\theta^2)^n \theta}{(2n+1)!} \sigma_y$

$= \cos(\theta) E + i \sin(\theta) \sigma_y = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & 0 \\ 0 & \cos(\theta) \end{pmatrix} + i \sin(\theta) \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

$e^{i\theta \sigma_y} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$

(4) $e^{i\theta \sigma_y}$ の固有値を求める。

$\det(e^{i\theta \sigma_y} - \lambda E) = \det \begin{pmatrix} \cos(\theta) - \lambda & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) - \lambda \end{pmatrix} = (\cos(\theta) - \lambda)^2 + \sin^2(\theta) = 0$

$\lambda^2 - 2\lambda \cos(\theta) + \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 0$

$\lambda^2 - 2\lambda \cos(\theta) + 1 = 0$

$\lambda = \frac{2\cos(\theta) \pm \sqrt{4\cos^2(\theta) - 4}}{2} = \cos(\theta) \pm i\sin(\theta) = e^{\pm i\theta}$

固有値は $e^{i\theta}$ と $e^{-i\theta}$ 。

次に固有ベクトルを求める。

固有値 $e^{i\theta}$ に対する固有ベクトルを $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = e^{i\theta} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$\cos(\theta)x + \sin(\theta)y = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))x$

$-\sin(\theta)x + \cos(\theta)y = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))y$

$\sin(\theta)y = i\sin(\theta)x$

$-\sin(\theta)x = i\sin(\theta)y$

$y = ix$

$x = -iy$

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$ (定数倍は任意)

固有値 $e^{-i\theta}$ に対する固有ベクトルを $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = e^{-i\theta} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (\cos(\theta) - i\sin(\theta)) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$\cos(\theta)x + \sin(\theta)y = (\cos(\theta) - i\sin(\theta))x$

$-\sin(\theta)x + \cos(\theta)y = (\cos(\theta) - i\sin(\theta))y$

$\sin(\theta)y = -i\sin(\theta)x$

$-\sin(\theta)x = -i\sin(\theta)y$

$y = -ix$

$x = iy$

固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$ (定数倍は任意)

3. 最終的な答え

(3) $e^{i\theta \sigma_y} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$

(4) 固有値: $e^{i\theta}, e^{-i\theta}$

固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$