与えられた対数に関する問題を解きます。具体的には、対数方程式を満たす $x$ の値を求めたり、対数を含む式を簡単にしたり、$\log_2 3 = m$ を用いて別の対数を $m$ で表したりします。

1. 問題の内容

与えられた対数に関する問題を解きます。具体的には、対数方程式を満たす $x$ の値を求めたり、対数を含む式を簡単にしたり、$\log_2 3 = m$ を用いて別の対数を $m$ で表したりします。

2. 解き方の手順

1. (1) $\log_4 x = 2$ を解きます。

$x = 4^2 = 16$

2. (2) $\log_{\frac{1}{3}} x = -2$ を解きます。

$x = (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$

3. (3) $\log_x 8 = 3$ を解きます。

$x^3 = 8$ なので、$x = \sqrt[3]{8} = 2$

4. (4) $\log_x \sqrt{10} = \frac{1}{2}$ を解きます。

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}$

$x = (\sqrt{10})^2 = 10$

5. (5) $\log_{\sqrt{6}} 216 = x$ を解きます。

$(\sqrt{6})^x = 216$

$(6^{\frac{1}{2}})^x = 6^3$

$6^{\frac{x}{2}} = 6^3$

$\frac{x}{2} = 3$

$x = 6$

6. (1) $\log_3 54 - \log_3 18$ を簡単にします。

$\log_3 54 - \log_3 18 = \log_3 \frac{54}{18} = \log_3 3 = 1$

7. (2) $\log_{10} \frac{1}{15} + \frac{1}{2} \log_{10} \frac{9}{4}$ を簡単にします。

$\log_{10} \frac{1}{15} + \log_{10} (\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}} = \log_{10} \frac{1}{15} + \log_{10} \frac{3}{2} = \log_{10} (\frac{1}{15} \cdot \frac{3}{2}) = \log_{10} \frac{1}{10} = -1$

8. (3) $(\log_3 8) \cdot (\log_2 9) \cdot (\log_4 2)$ を簡単にします。

$(\log_3 2^3) \cdot (\log_2 3^2) \cdot (\log_{2^2} 2) = 3 \log_3 2 \cdot 2 \log_2 3 \cdot \frac{1}{2} \log_2 2 = 3 \log_3 2 \cdot 2 \log_2 3 \cdot \frac{1}{2} = 3 \log_3 2 \cdot \log_2 3 = 3 \cdot \frac{\log 2}{\log 3} \cdot \frac{\log 3}{\log 2} = 3$

9. $\log_2 3 = m$ のとき、$\log_4 24$ を $m$ で表します。

$\log_4 24 = \frac{\log_2 24}{\log_2 4} = \frac{\log_2 (2^3 \cdot 3)}{\log_2 2^2} = \frac{\log_2 2^3 + \log_2 3}{2} = \frac{3 \log_2 2 + \log_2 3}{2} = \frac{3 + m}{2} = \frac{1}{2}m + \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

1. (1) $x = 16$

2. (2) $x = 9$

3. (3) $x = 2$

4. (4) $x = 10$

5. (5) $x = 6$

6. (1) $1$

7. (2) $-1$

8. (3) $3$

9. $\frac{3}{2} + \frac{1}{2}m$