行列 $\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。ただし、$i$ は虚数単位である。 (3) 行列 $X$ に対する指数関数 $e^X$ を $e^X = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} X^n$ と定義する。ここで、$X^0 = E$ は単位行列とする。$\theta$ を実数としたとき、行列 $e^{i\theta \sigma_y}$ を $\theta$ を用いて表せ。 (4) $e^{i\theta \sigma_y}$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

1. 問題の内容

行列 $\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。ただし、$i$ は虚数単位である。

(3) 行列 $X$ に対する指数関数 $e^X$ を $e^X = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} X^n$ と定義する。ここで、$X^0 = E$ は単位行列とする。$\theta$ を実数としたとき、行列 $e^{i\theta \sigma_y}$ を $\theta$ を用いて表せ。

(4) $e^{i\theta \sigma_y}$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

2. 解き方の手順

(3) まず、$e^{i\theta \sigma_y}$ を計算する。

$e^{i\theta \sigma_y} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} (i\theta \sigma_y)^n$ である。

$\sigma_y^2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$ であるから、$\sigma_y^{2n} = E$ であり、$\sigma_y^{2n+1} = \sigma_y$ である。

したがって、

$e^{i\theta \sigma_y} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} \sigma_y^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!} \sigma_y^{2n+1}$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!} E + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!} \sigma_y$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} E + i \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \theta^{2n+1}}{(2n+1)!} \sigma_y$

$= \cos\theta E + i \sin\theta \sigma_y$

$= \cos\theta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + i \sin\theta \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 \\ 0 & \cos\theta \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & \sin\theta \\ -\sin\theta & 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(4) $e^{i\theta \sigma_y} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$\det(e^{i\theta \sigma_y} - \lambda E) = 0$

$\det \begin{pmatrix} \cos\theta - \lambda & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta - \lambda \end{pmatrix} = (\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta = 0$

$\cos^2\theta - 2\lambda \cos\theta + \lambda^2 + \sin^2\theta = 0$

$\lambda^2 - 2\lambda \cos\theta + 1 = 0$

$\lambda = \frac{2\cos\theta \pm \sqrt{4\cos^2\theta - 4}}{2} = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta - 1} = \cos\theta \pm i \sin\theta = e^{\pm i\theta}$

したがって、固有値は $e^{i\theta}$ と $e^{-i\theta}$ である。

固有値 $e^{i\theta}$ に対応する固有ベクトルを $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = e^{i\theta} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \cos\theta x + \sin\theta y \\ -\sin\theta x + \cos\theta y \end{pmatrix} = (\cos\theta + i\sin\theta) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$\cos\theta x + \sin\theta y = (\cos\theta + i\sin\theta) x$

$-\sin\theta x + \cos\theta y = (\cos\theta + i\sin\theta) y$

$\sin\theta y = i\sin\theta x$

$-\sin\theta x = i\sin\theta y$

$y = ix$ である。したがって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$ の定数倍である。

固有値 $e^{-i\theta}$ に対応する固有ベクトルを $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = e^{-i\theta} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \cos\theta x + \sin\theta y \\ -\sin\theta x + \cos\theta y \end{pmatrix} = (\cos\theta - i\sin\theta) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$\cos\theta x + \sin\theta y = (\cos\theta - i\sin\theta) x$

$-\sin\theta x + \cos\theta y = (\cos\theta - i\sin\theta) y$

$\sin\theta y = -i\sin\theta x$

$-\sin\theta x = -i\sin\theta y$

$y = -ix$ である。したがって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$ の定数倍である。

3. 最終的な答え

(3) $e^{i\theta \sigma_y} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(4) 固有値は $e^{i\theta}$ と $e^{-i\theta}$ である。固有値 $e^{i\theta}$ に対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$ の定数倍であり、固有値 $e^{-i\theta}$ に対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$ の定数倍である。