縦5cm、横6cmの長方形Aがある。長方形Aより縦が $x$ cm長く、横が2$x$ cm長い長方形Bを作る。ただし、$x>0$とする。 (1) 長方形Bの面積は、長方形Aの面積より何cm$^2$大きいか、$x$を用いて表し、展開した形で答える。 (2) 長方形Bの面積が長方形Aの面積より480cm$^2$大きいとき、(1)の結果を用いて、$x$に関する2次方程式を作り、それを解いて、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

縦5cm、横6cmの長方形Aがある。長方形Aより縦が $x$ cm長く、横が2$x$ cm長い長方形Bを作る。ただし、$x>0$とする。

(1) 長方形Bの面積は、長方形Aの面積より何cm$^2$大きいか、$x$を用いて表し、展開した形で答える。

(2) 長方形Bの面積が長方形Aの面積より480cm$^2$大きいとき、(1)の結果を用いて、$x$に関する2次方程式を作り、それを解いて、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

長方形Aの面積は、$5 \times 6 = 30$ cm$^2$。

長方形Bの縦の長さは、$5+x$ cm、横の長さは、$6+2x$ cm。

長方形Bの面積は、$(5+x)(6+2x)$ cm$^2$。

長方形Bの面積と長方形Aの面積の差は、

\begin{align*}

(5+x)(6+2x) - 30 &= 30 + 10x + 6x + 2x^2 - 30 \\

&= 2x^2 + 16x

\end{align*}

したがって、長方形Bの面積は長方形Aの面積より$(2x^2 + 16x)$ cm$^2$大きい。

(2)

長方形Bの面積が長方形Aの面積より480 cm$^2$大きいので、(1)の結果より、

$$$$

2x^2 + 16x = 480

$$$$

両辺を2で割ると、

$$$$

x^2 + 8x = 240

$$$$

$$$$

x^2 + 8x - 240 = 0

$$$$

これを解く。解の公式より、

\begin{align*}

x &= \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-240)}}{2(1)} \\

&= \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 960}}{2} \\

&= \frac{-8 \pm \sqrt{1024}}{2} \\

&= \frac{-8 \pm 32}{2}

\end{align*}

$x > 0$なので、

$$$$

x = \frac{-8 + 32}{2} = \frac{24}{2} = 12

$$$$

したがって、$x=12$。

3. 最終的な答え

(1) $2x^2+16x$ cm$^2$

(2) $x=12$