関数 $y = -x^2 - 2x + c$ の $-2 \le x \le 1$ における最小値が2となるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 - 2x + c$ の $-2 \le x \le 1$ における最小値が2となるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 2x + c = -(x^2 + 2x) + c = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + c = -(x+1)^2 + 1 + c$

したがって、$y = -(x+1)^2 + c + 1$ となります。

(2) 定義域 $-2 \le x \le 1$ における軸の位置を考えます。軸は $x = -1$ であり、定義域に含まれます。

(3) 上に凸な放物線であるため、頂点で最大値をとり、定義域の端点のどちらかで最小値をとります。軸 $x = -1$ は定義域に含まれるため、最小値は定義域の端点 $x=1$ または $x=-2$ でとる可能性があります。

(4) $x=1$ のとき、$y = -(1+1)^2 + c + 1 = -4 + c + 1 = c - 3$

$x=-2$ のとき、$y = -(-2+1)^2 + c + 1 = -1 + c + 1 = c$

問題文より最小値が2なので、$c-3 = 2$ または $c = 2$ となります。

もし $c-3 = 2$ ならば、$c = 5$ となります。このとき、$x=1$ で最小値2をとり、$x=-2$ で $y = c = 5$ となり、矛盾しません。

もし $c = 2$ ならば、$x=-2$ で最小値2をとり、$x=1$ で $y = c - 3 = -1$ となり、最小値が-1となってしまうので、最小値が2であることに矛盾します。

したがって、$c = 5$ となります。

(5) $c=5$ のとき、$y = -(x+1)^2 + 6$ となります。

(6) 最大値を求めます。頂点の $x$ 座標 $x=-1$ は定義域に含まれるので、頂点で最大値をとります。

$x=-1$ のとき、$y = -(-1+1)^2 + 6 = 6$

3. 最終的な答え

$c = 5$

最大値は 6