関数 $f(x) = |x|(x+2)$ が $x=0$ で微分可能でないことを示す問題です。右側極限と左側極限を計算し、それらが一致しないことを示すことで、$x=0$ で微分可能でないことを証明します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x|(x+2)$ が $x=0$ で微分可能でないことを示す問題です。右側極限と左側極限を計算し、それらが一致しないことを示すことで、$x=0$ で微分可能でないことを証明します。

2. 解き方の手順

微分可能であるためには、右側極限と左側極限が一致する必要があります。

右側極限を求める：

$h>0$ で、$h$ が $0$ に近づくときを考えます。

$f(x) = |x|(x+2)$ より $f(0) = |0|(0+2) = 0$ であり、$f(0+h) = f(h) = |h|(h+2) = h(h+2)$ (なぜなら$h>0$だから).

したがって、

$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h(h+2) - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h(h+2)}{h} = \lim_{h \to +0} (h+2) = 2$.

左側極限を求める：

$h<0$ で、$h$ が $0$ に近づくときを考えます。

$f(0+h) = f(h) = |h|(h+2) = -h(h+2)$ (なぜなら$h<0$だから).

したがって、

$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h(h+2) - 0}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h(h+2)}{h} = \lim_{h \to -0} -(h+2) = -2$.

右側極限と左側極限が一致しないため、$f(x)$ は $x=0$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

ア：0+h

イ：0

ウ：h

エ：h+2

オ：0

カ：2

キ：h

ク：h+2

ケ：0

コ：-2

右側極限は2、左側極限は-2となり、一致しないので、$f(x)$は$x=0$で微分可能ではありません。