$f(x, y)$ と $g(x, y)$ が与えられています。 $f(x, y)$ は $xy \neq 0$ のとき $f(x, y) = \frac{x}{y} \arctan(\frac{y}{x}) - \frac{y}{x} \arctan(\frac{x}{y})$ であり、$xy = 0$ のとき $f(x, y) = 0$ です。 $g(x, y) = xyf(x, y)$ です。 (1) $a \neq 0$ のとき、$\lim_{x \to 0} f(x, a)$ と $\lim_{y \to 0} f(a, y)$ を求めます。 (2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0)$ と $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0)$ を求めます。

1. 問題の内容

$f(x, y)$ と $g(x, y)$ が与えられています。

$f(x, y)$ は $xy \neq 0$ のとき $f(x, y) = \frac{x}{y} \arctan(\frac{y}{x}) - \frac{y}{x} \arctan(\frac{x}{y})$ であり、$xy = 0$ のとき $f(x, y) = 0$ です。

$g(x, y) = xyf(x, y)$ です。

(1) $a \neq 0$ のとき、$\lim_{x \to 0} f(x, a)$ と $\lim_{y \to 0} f(a, y)$ を求めます。

(2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0)$ と $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず $\lim_{x \to 0} f(x, a)$ を求めます。

$x \to 0$ で $a \neq 0$ なので、$xy = xa \neq 0$ となり、$f(x, a) = \frac{x}{a} \arctan(\frac{a}{x}) - \frac{a}{x} \arctan(\frac{x}{a})$ を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{a} \arctan(\frac{a}{x}) = 0$ です。なぜなら $\arctan(\frac{a}{x})$ は有界だからです。

$\lim_{x \to 0} \frac{a}{x} \arctan(\frac{x}{a}) = \lim_{x \to 0} \frac{a}{x} \frac{x}{a} = 1$ です。なぜなら $\arctan(u) \approx u$ for $u \approx 0$ です。

したがって、$\lim_{x \to 0} f(x, a) = 0 - 1 = -1$ です。

次に $\lim_{y \to 0} f(a, y)$ を求めます。

$y \to 0$ で $a \neq 0$ なので、$xy = ay \neq 0$ となり、$f(a, y) = \frac{a}{y} \arctan(\frac{y}{a}) - \frac{y}{a} \arctan(\frac{a}{y})$ を使います。

$\lim_{y \to 0} \frac{a}{y} \arctan(\frac{y}{a}) = \lim_{y \to 0} \frac{a}{y} \frac{y}{a} = 1$ です。なぜなら $\arctan(u) \approx u$ for $u \approx 0$ です。

$\lim_{y \to 0} \frac{y}{a} \arctan(\frac{a}{y}) = 0$ です。なぜなら $\arctan(\frac{a}{y})$ は有界だからです。

したがって、$\lim_{y \to 0} f(a, y) = 1 - 0 = 1$ です。

(2)

$g(x, y) = xy f(x, y)$ なので、$xy \neq 0$ のとき $g(x, y) = x^2 \arctan(\frac{y}{x}) - y^2 \arctan(\frac{x}{y})$ です。

$xy = 0$ のとき、$g(x, y) = 0$ です。

$\frac{\partial g}{\partial y}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(0, h) - g(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$ です。

$\frac{\partial g}{\partial x}(x, y) = 2x \arctan(\frac{y}{x}) + x^2 \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} (-\frac{y}{x^2}) - y^2 \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^2} \frac{1}{y} = 2x \arctan(\frac{y}{x}) - \frac{x^2y}{x^2 + y^2} - \frac{y^3}{x^2 + y^2}$ for $xy \neq 0$

$\frac{\partial g}{\partial x}(0, y) = 0$ for $y \neq 0$

$\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial g}{\partial x}(0, h) - \frac{\partial g}{\partial x}(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$ です。

$\frac{\partial g}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h, 0) - g(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$ です。

$\frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = x^2 \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \frac{1}{x} - 2y \arctan(\frac{x}{y}) - y^2 \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^2} (-\frac{x}{y^2}) = \frac{x^3}{x^2 + y^2} - 2y \arctan(\frac{x}{y}) + \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$ for $xy \neq 0$

$\frac{\partial g}{\partial y}(x, 0) = 0$ for $x \neq 0$

$\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial g}{\partial y}(h, 0) - \frac{\partial g}{\partial y}(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} f(x, a) = -1$, $\lim_{y \to 0} f(a, y) = 1$

(2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0) = 0$, $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0) = 0$