関数 $y = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。

商の微分公式は、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

です。

この問題では、$u = x$、$v = \sqrt{x+1}$ とおきます。

まず、$u$ と $v$ の導関数を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$

$v = \sqrt{x+1} = (x+1)^{\frac{1}{2}}$

$v' = \frac{d}{dx} (x+1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

したがって、$u' = 1$、$v' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ となります。

これらの値を商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1 \cdot \sqrt{x+1} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{(\sqrt{x+1})^2}$

$y' = \frac{\sqrt{x+1} - \frac{x}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}$

分子と分母に $2\sqrt{x+1}$ をかけます。

$y' = \frac{2(x+1) - x}{2(x+1)\sqrt{x+1}} = \frac{2x+2-x}{2(x+1)\sqrt{x+1}} = \frac{x+2}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$

$y' = \frac{x+2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+2}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$

あるいは

$\frac{x+2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}$