与えられた関数 $y = \sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数を $y = (x^4 + 2x^2 + 2)^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を用いて導関数を求めます。

$y$を$u = x^4 + 2x^2 + 2$とすると、$y = u^{\frac{1}{2}}$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(x^4 + 2x^2 + 2)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{du}{dx} = 4x^3 + 4x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x^4 + 2x^2 + 2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (4x^3 + 4x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^3 + 4x}{2\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 + 2x}{\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x(x^2 + 1)}{\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x(x^2 + 1)}{\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}}$