関数 $f(x) = \arctan(\sqrt{1+x})$ が与えられている。 (1) $x=0$ における $f(x)$ の1次テイラー多項式 $P_1f(x;0)$ を求める。 (2) $\phi(x) = 3x$ とする。極限 $A = \lim_{x\to 0} \frac{f(\phi(x)) - B - Cx}{x^2}$ が存在するような実数 $B, C$ を求め、そのときの $A$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arctan(\sqrt{1+x})$ が与えられている。

(1) $x=0$ における $f(x)$ の1次テイラー多項式 $P_1f(x;0)$ を求める。

(2) $\phi(x) = 3x$ とする。極限 $A = \lim_{x\to 0} \frac{f(\phi(x)) - B - Cx}{x^2}$ が存在するような実数 $B, C$ を求め、そのときの $A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1次テイラー多項式 $P_1f(x;0)$ を求める。

$P_1f(x;0) = f(0) + f'(0)x$

$f(0) = \arctan(\sqrt{1+0}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

$f'(x) = \frac{1}{1+(\sqrt{1+x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \frac{1}{1+1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \frac{1}{(2+x)2\sqrt{1+x}}$

$f'(0) = \frac{1}{(2+0)2\sqrt{1+0}} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1}{4}$

したがって、$P_1f(x;0) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}x$

(2) 極限 $A = \lim_{x\to 0} \frac{f(\phi(x)) - B - Cx}{x^2}$ が存在するための $B, C$ を求め、$A$ を計算する。

$\phi(x) = 3x$ より、$f(\phi(x)) = f(3x) = \arctan(\sqrt{1+3x})$

$f(3x) = \arctan(\sqrt{1+3x})$ を $x=0$ の周りでテイラー展開する。

$f(0) = \frac{\pi}{4}$

$f'(x) = \frac{1}{4(2+x)\sqrt{1+x}}$ より、$f'(0) = \frac{1}{4}$

$f''(x) = -\frac{4(2+x)\sqrt{1+x} + 4(\sqrt{1+x} + (2+x)\frac{1}{2\sqrt{1+x}})}{(4(2+x)\sqrt{1+x})^2} = -\frac{(2+x)\sqrt{1+x} + (\sqrt{1+x} + (2+x)\frac{1}{2\sqrt{1+x}})}{4(2+x)^2(1+x)}$

$f''(0) = -\frac{2 + (1 + 1)}{4(2)^2} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$

$f(3x) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}(3x) - \frac{1}{2} \frac{1}{4} (3x)^2 + O(x^3) = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}x - \frac{9}{8}x^2 + O(x^3)$

$\lim_{x\to 0} \frac{f(3x) - B - Cx}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}x - \frac{9}{8}x^2 - B - Cx}{x^2}$

極限が存在するためには、定数項と $x$ の係数が0でなければならない。

$\frac{\pi}{4} - B = 0 \implies B = \frac{\pi}{4}$

$\frac{3}{4} - C = 0 \implies C = \frac{3}{4}$

したがって、

$A = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}x - \frac{9}{8}x^2 - \frac{\pi}{4} - \frac{3}{4}x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{9}{8}x^2}{x^2} = -\frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $P_1f(x;0) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}x$

(2) $B = \frac{\pi}{4}$, $C = \frac{3}{4}$, $A = -\frac{9}{8}$