$y = 8 - 2x^2$ と $x$ 軸に囲まれた部分に内接し、1辺が $x$ 軸上にある長方形の面積 $S$ を考える。$S$ が最大になるとき、この長方形の縦の長さを求め、$\frac{\square}{3}$ の形で表したとき、$\square$ に入る数字を求める問題です。

解析学最大値微分面積グラフ
2025/7/11

1. 問題の内容

y=82x2y = 8 - 2x^2xx 軸に囲まれた部分に内接し、1辺が xx 軸上にある長方形の面積 SS を考える。SS が最大になるとき、この長方形の縦の長さを求め、3\frac{\square}{3} の形で表したとき、\square に入る数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、y=82x2y = 8 - 2x^2xx 軸の交点を求めます。y=0y = 0 とすると、
82x2=08 - 2x^2 = 0
2x2=82x^2 = 8
x2=4x^2 = 4
x=±2x = \pm 2
よって、xx 軸との交点は (2,0)(-2, 0)(2,0)(2, 0) です。
長方形の xx 軸上の辺の中点を原点とすると、長方形の頂点の xx 座標を xx と置くことができます。このとき、xx の範囲は 0<x<20 < x < 2 です。長方形の縦の長さは y=82x2y = 8 - 2x^2 で表され、横の長さは 2x2x で表されます。長方形の面積 SS は、
S=(2x)(82x2)=16x4x3S = (2x)(8 - 2x^2) = 16x - 4x^3
SS が最大となる xx を求めるために、SSxx で微分します。
dSdx=1612x2\frac{dS}{dx} = 16 - 12x^2
dSdx=0\frac{dS}{dx} = 0 となる xx を求めます。
1612x2=016 - 12x^2 = 0
12x2=1612x^2 = 16
x2=1612=43x^2 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}
x=±23=±233x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}
0<x<20 < x < 2 より、x=233x = \frac{2\sqrt{3}}{3} です。
このとき、長方形の縦の長さは、
y=82x2=82(43)=883=2483=163y = 8 - 2x^2 = 8 - 2(\frac{4}{3}) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3}
求める値は3\frac{\square}{3}\squareにあたる数字なので、16です。

3. 最終的な答え

16

「解析学」の関連問題

与えられた関数 $y$ を微分する問題です。以下の4つの関数について、$x$で微分した $y'$ を求めます。 (2) $y = (3x - 1)^3$ (3) $y = (2x - 1)(x - 2...

微分合成関数の微分積の微分
2025/7/15

関数 $f(x) = \frac{px+q}{x^2+3x}$ が $x = -\frac{1}{3}$ で極値 -9 をとるとき、以下の問いに答える。 (1) $p$ と $q$ の値を求めよ。 (...

関数の極値微分分数関数変曲点
2025/7/15

(1) 曲線 $y = \cosh x$ の $0 \le x \le 2$ の範囲における長さを求めます。 (2) 媒介変数 $\theta$ $(0 \le \theta \le 2\pi)$ で...

曲線の長さ積分双曲線関数媒介変数表示
2025/7/15

問題は、関数 $y = \cos^2 x$ のグラフに関する記述の正誤を問うものです。ただし、画像が不鮮明なため、正確な問題文は判断できません。ここでは、$y = \cos^2 x$ のグラフの概形や...

三角関数グラフ周期関数偶関数
2025/7/15

関数 $f(x) = \frac{x^2}{4 + x^2}$ の最大値と最小値を求める問題です。

関数の最大値関数の最小値極限微分
2025/7/15

関数 $f(x) = \frac{px + q}{x^2 + 3x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ が $x = -\frac{1}{3}$ で極値 $-9$ をとるとき、...

関数の極値微分分数関数変曲点
2025/7/15

次の定積分の値を計算します。 $\int_{-2}^{0} (-2x^2 - 3x + 2) dx + \int_{0}^{2} (-2x^2 - 3x + 2) dx$

定積分積分多項式
2025/7/15

次の3つの関数 $f(x)$ について、$n$ 次導関数 ($n \geq 1$) を求める問題です。 a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ b) $f(x) = \log(1-x)$ ...

導関数微分数学的帰納法関数の微分
2025/7/15

関数 $f(x) = \log(1 - x)$ の $n$ 次導関数 ($n \ge 1$) を求める。ここで $\log$ は自然対数とする。

導関数自然対数数学的帰納法微分
2025/7/15

以下の関数の$n$次導関数 ($n \geq 1$)を求めよ。 a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ b) $f(x) = \log(1-x)$ c) $f(x) = (1+x)^{\f...

導関数微分n次導関数関数の微分階乗
2025/7/15