$y = 8 - 2x^2$ と $x$ 軸に囲まれた部分に内接し、1辺が $x$ 軸上にある長方形の面積 $S$ を考える。$S$ が最大になるとき、この長方形の縦の長さを求め、$\frac{\square}{3}$ の形で表したとき、$\square$ に入る数字を求める問題です。
2025/7/11
1. 問題の内容
と 軸に囲まれた部分に内接し、1辺が 軸上にある長方形の面積 を考える。 が最大になるとき、この長方形の縦の長さを求め、 の形で表したとき、 に入る数字を求める問題です。
2. 解き方の手順
まず、 と 軸の交点を求めます。 とすると、
よって、 軸との交点は と です。
長方形の 軸上の辺の中点を原点とすると、長方形の頂点の 座標を と置くことができます。このとき、 の範囲は です。長方形の縦の長さは で表され、横の長さは で表されます。長方形の面積 は、
が最大となる を求めるために、 を で微分します。
となる を求めます。
より、 です。
このとき、長方形の縦の長さは、
求める値はのにあたる数字なので、16です。
3. 最終的な答え
16