定積分 $\int_{1}^{2} (x-1)^2 e^{2x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} (x-1)^2 e^{2x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)^2$ を展開します。

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

したがって、積分は

$\int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 1) e^{2x} dx$

部分積分を使って、この積分を計算します。

$I = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 1) e^{2x} dx$

$u = x^2 - 2x + 1$, $dv = e^{2x} dx$ とおくと、

$du = (2x - 2) dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$

$I = \left[ (x^2 - 2x + 1)\frac{1}{2}e^{2x} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} (2x - 2)\frac{1}{2}e^{2x} dx$

$I = \frac{1}{2} \left[ (x^2 - 2x + 1)e^{2x} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} (x - 1)e^{2x} dx$

$I = \frac{1}{2} \left[ (4 - 4 + 1)e^{4} - (1 - 2 + 1)e^{2} \right] - \int_{1}^{2} (x - 1)e^{2x} dx$

$I = \frac{1}{2}e^4 - \int_{1}^{2} (x - 1)e^{2x} dx$

次に、$J = \int_{1}^{2} (x - 1)e^{2x} dx$ を計算します。

$u = x - 1$, $dv = e^{2x} dx$ とおくと、

$du = dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$

$J = \left[ (x - 1)\frac{1}{2}e^{2x} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2}e^{2x} dx$

$J = \frac{1}{2} \left[ (x - 1)e^{2x} \right]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{1}^{2}$

$J = \frac{1}{2} \left[ (2 - 1)e^{4} - (1 - 1)e^{2} \right] - \frac{1}{4} \left[ e^{2x} \right]_{1}^{2}$

$J = \frac{1}{2}e^{4} - \frac{1}{4} \left[ e^{4} - e^{2} \right]$

$J = \frac{1}{2}e^{4} - \frac{1}{4}e^{4} + \frac{1}{4}e^{2} = \frac{1}{4}e^{4} + \frac{1}{4}e^{2}$

したがって、

$I = \frac{1}{2}e^4 - (\frac{1}{4}e^{4} + \frac{1}{4}e^{2}) = \frac{1}{4}e^4 - \frac{1}{4}e^2 = \frac{e^4 - e^2}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^4 - e^2}{4}$