与えられた問題は、以下の極限を求めることです。 $\ln\left(\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x}\right)$

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の極限を求めることです。

$\ln\left(\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x}\right)$

2. 解き方の手順

まず、極限 $\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x}$ を計算します。

これは $1^\infty$ の不定形なので、$e$ の定義を利用します。

一般に、$\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$ が成り立ちます。

$\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x} = \left[\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x}\right]^2$ と変形できます。

よって、

$\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x} = \lim_{x\to\infty} \left[\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x}\right]^2 = \left[\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x}\right]^2 = (e^3)^2 = e^6$

したがって、求めるべき式は

$\ln\left(\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x}\right) = \ln(e^6)$

対数の性質より、$\ln(e^6) = 6$

3. 最終的な答え

$6$