ECONOMICSという9個の文字を並べ替えてできる順列について、以下の問いに答えます。 (1) 両端にCがきて、しかも同じ文字が隣り合わない順列は何通りあるか。 (2) 両端がともに母音である順列は何通りあるか。 (3) 両端がともに母音でない順列は何通りあるか。

1. 問題の内容

ECONOMICSという9個の文字を並べ替えてできる順列について、以下の問いに答えます。

(1) 両端にCがきて、しかも同じ文字が隣り合わない順列は何通りあるか。

(2) 両端がともに母音である順列は何通りあるか。

(3) 両端がともに母音でない順列は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 両端にCがきて、しかも同じ文字が隣り合わない順列

まず、両端にCを固定します。残りの文字はE, O, N, O, M, I, Sです。これらの7文字を並べる場合、Oが2つあるため、そのまま並べると重複が生じます。

7文字を並べる総数は $7!/2! = 2520$通りです。

次に、同じ文字が隣り合う場合を考えます。

O, Oが隣り合う場合を考えます。OOを1つの文字として考えると、E, N, OO, M, I, Sの6つの文字を並べることになります。この並べ方は$6! = 720$通りです。

したがって、同じ文字が隣り合わない順列の数は、総数からO, Oが隣り合う場合を引けばよいので、$2520 - 720 = 1800$通りです。

(2) 両端がともに母音である順列

ECONOMICSの母音はE, O, I, Oの4つです。

両端の選び方を考えます。

1. 両端がO, Oの場合：残り7文字（E, C, N, M, I, C, S）を並べます。並べ方は $7! / 2! = 2520$通り。（Cが2つあるため）

2. 両端がE, O (または O, E)の場合：残り7文字（O, C, N, M, I, C, S）を並べます。並べ方は $2 \times (7! / 2!) = 2 \times 2520 = 5040$通り。（Cが2つあるため、Oが2つあった場合と違って2倍する必要があります。）

3. 両端がE, I (または I, E)の場合：残り7文字（O, O, C, N, M, C, S）を並べます。並べ方は $2 \times (7! / (2! \times 2!)) = 2 \times 1260 = 2520$通り。（Oが2つ、Cが2つあるため）

4. 両端がO, I (または I, O)の場合：残り7文字（E, O, C, N, M, C, S）を並べます。並べ方は $2 \times (7! / 2!) = 2 \times 2520 = 5040$通り。（Cが2つあるため）

したがって、両端がともに母音である順列は、$2520 + 5040 + 2520 + 5040 = 15120$通りです。

(3) 両端がともに母音でない順列

ECONOMICSの母音でない文字はC, N, M, C, Sの5つです。

両端の選び方を考えます。

1. 両端がC, Cの場合：残り7文字（E, O, N, O, M, I, S）を並べます。並べ方は $7! / 2! = 2520$通り。（Oが2つあるため）

2. 両端がC, N (または N, C)の場合：残り7文字（E, O, C, O, M, I, S）を並べます。並べ方は $2 \times (7! / 2!) = 2 \times 2520 = 5040$通り。（Oが2つあるため）

3. 両端がC, M (または M, C)の場合：残り7文字（E, O, C, O, N, I, S）を並べます。並べ方は $2 \times (7! / 2!) = 2 \times 2520 = 5040$通り。（Oが2つあるため）

4. 両端がC, S (または S, C)の場合：残り7文字（E, O, C, O, N, M, I）を並べます。並べ方は $2 \times (7! / 2!) = 2 \times 2520 = 5040$通り。（Oが2つあるため）

5. 両端がN, M (または M, N)の場合：残り7文字（E, O, C, O, C, I, S）を並べます。並べ方は $2 \times (7! / (2! \times 2!)) = 2 \times 1260 = 2520$通り。（Oが2つ、Cが2つあるため）

6. 両端がN, S (または S, N)の場合：残り7文字（E, O, C, O, C, M, I）を並べます。並べ方は $2 \times (7! / (2! \times 2!)) = 2 \times 1260 = 2520$通り。（Oが2つ、Cが2つあるため）

7. 両端がM, S (または S, M)の場合：残り7文字（E, O, C, O, C, N, I）を並べます。並べ方は $2 \times (7! / (2! \times 2!)) = 2 \times 1260 = 2520$通り。（Oが2つ、Cが2つあるため）

したがって、両端がともに母音でない順列は、$2520 + 3 \times 5040 + 3 \times 2520 = 2520 + 15120 + 7560 = 25200$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1800通り

(2) 15120通り

(3) 25200通り