a, b, c, d, e, f, g の 7 文字を 1 列に並べる。 (1) c, d, g が左からこの順に並ぶものは何通りあるか。 (2) b が e より左、f が a より右にあるものは何通りあるか。

1. 問題の内容

a, b, c, d, e, f, g の 7 文字を 1 列に並べる。

(1) c, d, g が左からこの順に並ぶものは何通りあるか。

(2) b が e より左、f が a より右にあるものは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 7 文字を並べる総数は $7! = 5040$ 通り。

c, d, g の順序は決まっているので、c, d, g を同じ文字、例えば X, X, X と考えて並べると、

a, b, e, f, X, X, X の並べ方は $\frac{7!}{3!}$ 通り。

$\frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840$ 通り。

(2) b が e より左にある確率と、f が a より右にある確率はいずれも $\frac{1}{2}$ である。

b と e の位置関係、a と f の位置関係を考慮する必要があるので、全順列から条件を満たさないものを引くのではなく、先に条件を満たすものを数え上げる。

b, e の位置関係と、f, a の位置関係は独立なので、

全順列 $7! = 5040$ 通りについて、b が e より左にある確率は $\frac{1}{2}$、f が a より右にある確率も $\frac{1}{2}$ なので、求める場合の数は $5040 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 1260$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 840 通り

(2) 1260 通り