与えられた不定積分 $\int 3x(2x^2-1)^3 dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int 3x(2x^2-1)^3 dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

置換積分を用いる。

$u = 2x^2 - 1$ とおく。すると、$\frac{du}{dx} = 4x$ となる。

したがって、$du = 4x \, dx$ である。

与えられた積分は、

$\int 3x(2x^2-1)^3 dx = \int 3x u^3 dx$ と書き換えられる。

$x \, dx = \frac{1}{4} du$ であるから、

$\int 3x u^3 dx = \int 3 u^3 \frac{1}{4} du = \frac{3}{4} \int u^3 du$ となる。

$\int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C$ であるから、

$\frac{3}{4} \int u^3 du = \frac{3}{4} (\frac{u^4}{4} + C) = \frac{3}{16} u^4 + C'$ （$C' = \frac{3}{4}C$ は積分定数）

ここで、$u = 2x^2 - 1$ を代入すると、

$\frac{3}{16} (2x^2 - 1)^4 + C'$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{16}(2x^2 - 1)^4 + C$ (ここで、$C$は積分定数)