与えられた線形写像 $T$ とそれぞれの空間の基に対して、$T$ の表現行列を求める問題です。 (a) $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ が $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \mathbf{x}$ で与えられ、$\mathbb{R}^3$ の基が $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$、$\mathbb{R}^2$ の基が $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ であるときの表現行列を求めます。 (b) $T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$ が $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x}$ で与えられ、$\mathbb{R}^4$ の基が $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$、$\mathbb{R}^3$ の基が $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$ であるときの表現行列を求めます。

1. 問題の内容

与えられた線形写像 $T$ とそれぞれの空間の基に対して、$T$ の表現行列を求める問題です。

(a) $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ が $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \mathbf{x}$ で与えられ、$\mathbb{R}^3$ の基が $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$、$\mathbb{R}^2$ の基が $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ であるときの表現行列を求めます。

(b) $T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$ が $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x}$ で与えられ、$\mathbb{R}^4$ の基が $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$、$\mathbb{R}^3$ の基が $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$ であるときの表現行列を求めます。

2. 解き方の手順

(a)

1. $\mathbb{R}^3$ の基の各ベクトルを $T$ で写します。

$T \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix}$

$T \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

2. 写したベクトルを $\mathbb{R}^2$ の基で表現します。つまり、以下の連立方程式を解きます。

$\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = e \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + f \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

3. 解くと、

$a = 1, b = 1$

$c = 2, d = 5$

$e = -1, f = 3$

4. 表現行列は、各列が上の係数からなる行列です。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}$

(b)

1. $\mathbb{R}^4$ の基の各ベクトルを $T$ で写します。

$T \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

$T \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$T \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$

2. 写したベクトルを $\mathbb{R}^3$ の基で表現します。つまり、以下の連立方程式を解きます。

$\begin{bmatrix} 8 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 10 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = d \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + e \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + f \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = g \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + h \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + i \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 9 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} = j \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + l \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

3. 解くと、

$a = 3, b = 5, c = -3$

$d = -1, e = 11, f = 0$

$g = -1, h = 0, i = 0$

$j = -2, k = 11, l = 0$

4. 表現行列は、各列が上の係数からなる行列です。

$\begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 & -2 \\ 5 & 11 & 0 & 11 \\ -3 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(a) の表現行列は

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}$

(b) の表現行列は

$\begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 & -2 \\ 5 & 11 & 0 & 11 \\ -3 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$