$A$ と $B$ が $n$ 次正方行列であるとき、以下の式が成り立つことを示す問題です。 $\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A - B||A + B|$ ここで、$|X|$ は行列 $X$ の行列式を表します。

1. 問題の内容

$A$ と $B$ が $n$ 次正方行列であるとき、以下の式が成り立つことを示す問題です。

$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A - B||A + B|$

ここで、$|X|$ は行列 $X$ の行列式を表します。

2. 解き方の手順

まず、左辺の行列式を変形します。行列式の性質を利用して、ブロック行列の行列式を計算します。

まず、以下の変形を行います。

$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix}$

この行列に基本変形を施します。まず、第一ブロック行に第二ブロック行の $-1$ 倍を加えます。これは行列式を変えません。

$\begin{vmatrix} A - B & B - A \\ B & A \end{vmatrix}$

次に、第一ブロック列に単位行列を並べた行列と第二ブロック列に$-I$を並べた行列を右から掛けます。$I$は単位行列です。

$\begin{pmatrix}

I & -I \\

0 & I

\end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} A - B & 0 \\ B & A + B \end{vmatrix}$

この行列はブロック下三角行列なので、行列式は対角ブロックの行列式の積に等しくなります。

$|A - B| |A + B|$

したがって、

$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A - B||A + B|$

3. 最終的な答え

$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A - B||A + B|$ が示されました。