次の曲線の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求める問題です。 (1) $y=x^4 + 2x^3 + 1$ (2) $y=xe^{-x}$ (3) $y=x - \cos x \ (0 < x < \pi)$ (4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

1. 問題の内容

次の曲線の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求める問題です。

(1) $y=x^4 + 2x^3 + 1$

(2) $y=xe^{-x}$

(3) $y=x - \cos x \ (0 < x < \pi)$

(4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

2. 解き方の手順

曲線の凹凸を調べるには、2階微分を計算し、その符号を調べます。2階微分が正であれば下に凸、負であれば上に凸です。変曲点は、2階微分の符号が変わる点です。つまり、$y'' = 0$ となる点を調べます。

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$

$y' = 4x^3 + 6x^2$

$y'' = 12x^2 + 12x = 12x(x+1)$

$y'' = 0$ となるのは $x = 0, -1$。

$x < -1$ のとき $y'' > 0$ (下に凸)

$-1 < x < 0$ のとき $y'' < 0$ (上に凸)

$x > 0$ のとき $y'' > 0$ (下に凸)

変曲点は $x=-1$ と $x=0$ のとき。

$x = -1$ のとき $y = (-1)^4 + 2(-1)^3 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

$x = 0$ のとき $y = 0^4 + 2(0)^3 + 1 = 1$

よって、変曲点は $(-1, 0)$ と $(0, 1)$.

(2) $y = xe^{-x}$

$y' = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$

$y'' = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}$

$y'' = 0$ となるのは $x = 2$。

$x < 2$ のとき $y'' < 0$ (上に凸)

$x > 2$ のとき $y'' > 0$ (下に凸)

変曲点は $x=2$ のとき。

$x = 2$ のとき $y = 2e^{-2}$

よって、変曲点は $(2, 2e^{-2})$.

(3) $y = x - \cos x \ (0 < x < \pi)$

$y' = 1 + \sin x$

$y'' = \cos x$

$y'' = 0$ となるのは $x = \frac{\pi}{2}$。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき $y'' > 0$ (下に凸)

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき $y'' < 0$ (上に凸)

変曲点は $x = \frac{\pi}{2}$ のとき。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $y = \frac{\pi}{2} - \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

よって、変曲点は $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

(4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

$y' = -4x^3 + 12x^2 - 12x + 4$

$y'' = -12x^2 + 24x - 12 = -12(x^2 - 2x + 1) = -12(x-1)^2$

$y'' = 0$ となるのは $x = 1$。

$y'' = -12(x-1)^2 \le 0$ なので、常に上に凸。

$x = 1$ の前後で $y''$ の符号は変わらないため、変曲点はない。

3. 最終的な答え

(1) 下に凸: $x<-1$, $x>0$, 上に凸: $-1<x<0$, 変曲点: $(-1, 0)$, $(0, 1)$

(2) 上に凸: $x<2$, 下に凸: $x>2$, 変曲点: $(2, 2e^{-2})$

(3) 下に凸: $0<x<\frac{\pi}{2}$, 上に凸: $\frac{\pi}{2}<x<\pi$, 変曲点: $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

(4) 上に凸: 全ての $x$, 変曲点: なし