$y = 3\sin{x}\cos{x} - 2\sin{x} + 2\cos{x}$ を、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$t = \sin{x} + \cos{x}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$y = 3\sin{x}\cos{x} - 2\sin{x} + 2\cos{x}$ を、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$t = \sin{x} + \cos{x}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin{x} + \cos{x}$ を２乗します。

$$t^2 = (\sin{x} + \cos{x})^2 = \sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = 1 + 2\sin{x}\cos{x}$$

これから、$\sin{x}\cos{x}$を$t$の式で表すと、

$$2\sin{x}\cos{x} = t^2 - 1$$

$$\sin{x}\cos{x} = \frac{t^2 - 1}{2}$$

次に、与えられた$y$の式に代入します。

$$y = 3\sin{x}\cos{x} - 2\sin{x} + 2\cos{x} = 3\sin{x}\cos{x} + 2(\cos{x} - \sin{x})$$

問題文が $y = 3\sin{x}\cos{x} - 2\sin{x} + 2\cos{x}$であると仮定すると、

$$y = 3\left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) - 2\sin{x} + 2\cos{x} = \frac{3}{2}(t^2 - 1) + 2(\cos{x} - \sin{x})$$

$\cos{x} - \sin{x}$を$t$で表すことを考えます。$t = \sin{x} + \cos{x}$より、 $(\cos{x} - \sin{x})^2 = (\sin{x} + \cos{x})^2 - 4\sin{x}\cos{x} = t^2 - 2(t^2-1) = 2-t^2$となります。

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$において、 $t = \sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$です。

$\frac{\pi}{4} \le x+\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$なので、$1 \le t \le \sqrt{2}$となります。

また、$(\cos{x} - \sin{x})^2 = 2-t^2$より$\cos{x} - \sin{x} = \pm\sqrt{2-t^2}$となります。

$y = 3\sin{x}\cos{x} - 2\sin{x} + 2\cos{x}$を仮定すると、

$y = \frac{3}{2}(t^2-1) + 2(\cos{x} - \sin{x}) = \frac{3}{2}(t^2 - 1) + 2\sqrt{2-t^2}$または$y = \frac{3}{2}(t^2 - 1) - 2\sqrt{2-t^2}$になります。

$x = 0$の時、$y = 2$, $t = 1$なので、$y = \frac{3}{2}(1-1) + 2\sqrt{2-1} = 2$なので、$y = \frac{3}{2}(t^2 - 1) + 2\sqrt{2-t^2}$が正しいです。

3. 最終的な答え

$y = \frac{3}{2}(t^2 - 1) + 2\sqrt{2-t^2}$