与えられた数列の和を計算します。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、部分分数分解を利用します。$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を以下のように分解します。

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2}$

両辺に $k(k+1)(k+2)$ をかけると、

$1 = A(k+1)(k+2) + Bk(k+2) + Ck(k+1)$

$k=-1$ を代入すると、

$1 = B(-1)(1)$

$B = -1$

$k=0$ を代入すると、

$1 = A(1)(2)$

$A = \frac{1}{2}$

$k=-2$ を代入すると、

$1 = C(-2)(-1)$

$C = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1/2}{k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1/2}{k+2} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} + \frac{1}{k+2}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} \right)$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}\right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right)$

これは、telescoping sum (望遠鏡和) と呼ばれる形になっています。

$\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 - \frac{1}{n+1}$

$\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2}$

よって、

$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} + \frac{1}{k+2}\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(1-\frac{1}{n+1}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right] = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2} - \frac{n+2-(n+1)}{(n+1)(n+2)} \right] = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right] = \frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)(n+2) - 2}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$