関数 $z = \sqrt[3]{x^3 + 3xy^2}$ の偏導関数を求める。すなわち、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $z = \sqrt[3]{x^3 + 3xy^2}$ の偏導関数を求める。すなわち、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$z = (x^3 + 3xy^2)^{1/3}$ と書き換える。

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を求める:

連鎖律を使って、$u = x^3 + 3xy^2$ とすると、$z = u^{1/3}$。

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{1}{3} u^{-2/3}$

$\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 + 3y^2$

したがって、

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{3} (x^3 + 3xy^2)^{-2/3} (3x^2 + 3y^2)$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x^2 + y^2}{(x^3 + 3xy^2)^{2/3}}$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める:

連鎖律を使って、$u = x^3 + 3xy^2$ とすると、$z = u^{1/3}$。

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{1}{3} u^{-2/3}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 6xy$

したがって、

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{3} (x^3 + 3xy^2)^{-2/3} (6xy)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2xy}{(x^3 + 3xy^2)^{2/3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x^2 + y^2}{(x^3 + 3xy^2)^{2/3}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2xy}{(x^3 + 3xy^2)^{2/3}}$