与えられた曲面上の指定された点における接平面の方程式と法線の方程式を求める。具体的には、以下の3つの場合について求める。 (1) $z = xy$、点$(1, 1, 1)$ (2) $z = e^{2x-3y}$、点$(0, 0, 1)$ (3) $z = ax^2 + by^2$、点$(1, 1, a+b)$

1. 問題の内容

与えられた曲面上の指定された点における接平面の方程式と法線の方程式を求める。具体的には、以下の3つの場合について求める。

(1) $z = xy$、点$(1, 1, 1)$

(2) $z = e^{2x-3y}$、点$(0, 0, 1)$

(3) $z = ax^2 + by^2$、点$(1, 1, a+b)$

2. 解き方の手順

各曲面について、$f(x,y,z) = 0$となるように関数$f$を定義する。接平面の法線ベクトルは、$\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$で与えられる。指定された点$(x_0, y_0, z_0)$における接平面の方程式は、

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + \frac{\partial f}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0$

で与えられる。また、法線の方程式は、

$\frac{x - x_0}{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0, z_0)} = \frac{y - y_0}{\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0, z_0)} = \frac{z - z_0}{\frac{\partial f}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)}$

で与えられる。

(1) $z = xy$の場合

$f(x, y, z) = xy - z$

$\frac{\partial f}{\partial x} = y$, $\frac{\partial f}{\partial y} = x$, $\frac{\partial f}{\partial z} = -1$

点$(1, 1, 1)$において、$\nabla f = (1, 1, -1)$

接平面の方程式: $1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0$, つまり$x + y - z - 1 = 0$, よって $x + y - z = 1$

法線の方程式: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}$

(2) $z = e^{2x-3y}$の場合

$f(x, y, z) = e^{2x-3y} - z$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2e^{2x-3y}$, $\frac{\partial f}{\partial y} = -3e^{2x-3y}$, $\frac{\partial f}{\partial z} = -1$

点$(0, 0, 1)$において、$\nabla f = (2, -3, -1)$

接平面の方程式: $2(x - 0) - 3(y - 0) - 1(z - 1) = 0$, つまり $2x - 3y - z + 1 = 0$, よって $2x - 3y - z = -1$

法線の方程式: $\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 0}{-3} = \frac{z - 1}{-1}$

(3) $z = ax^2 + by^2$の場合

$f(x, y, z) = ax^2 + by^2 - z$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2ax$, $\frac{\partial f}{\partial y} = 2by$, $\frac{\partial f}{\partial z} = -1$

点$(1, 1, a+b)$において、$\nabla f = (2a, 2b, -1)$

接平面の方程式: $2a(x - 1) + 2b(y - 1) - 1(z - (a+b)) = 0$, つまり $2ax - 2a + 2by - 2b - z + a + b = 0$, よって $2ax + 2by - z = a + b$

法線の方程式: $\frac{x - 1}{2a} = \frac{y - 1}{2b} = \frac{z - (a+b)}{-1}$

3. 最終的な答え

(1) 接平面: $x + y - z = 1$, 法線: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}$

(2) 接平面: $2x - 3y - z = -1$, 法線: $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z - 1}{-1}$

(3) 接平面: $2ax + 2by - z = a + b$, 法線: $\frac{x - 1}{2a} = \frac{y - 1}{2b} = \frac{z - (a+b)}{-1}$