行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、この行列 $A$ が対角化できないことを示す。ヒントとして、$A$ の固有値が 1 と 1 であることと、もし $A$ が対角化できるならば、$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ を満たす正則行列 $P$ が存在することが示されている。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、この行列 $A$ が対角化できないことを示す。ヒントとして、$A$ の固有値が 1 と 1 であることと、もし $A$ が対角化できるならば、$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ を満たす正則行列 $P$ が存在することが示されている。

2. 解き方の手順

$A$ の固有値は1と1である。もし $A$ が対角化可能であると仮定すると、$A$ は単位行列 $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ に相似となる。つまり、正則行列 $P$ が存在して、$P^{-1}AP = I$ となる。

このとき、$AP = PI$、すなわち $AP = P$ となる。したがって、行列 $P$ の各列は、$A$ の固有値 1 に対応する固有ベクトルとなる。

$A$ の固有ベクトルを求める。

$A - I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

固有ベクトル $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ は、$(A - I)\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を満たす。

つまり、$-x + y = 0$ なので、$x = y$。したがって、固有ベクトルは $t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($t \neq 0$) の形となる。

固有値 1 に対して、線形独立な固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ のスカラー倍しか存在しない。したがって、$A$ は2つの線形独立な固有ベクトルを持たないため、$A$ は対角化できない。

3. 最終的な答え

行列 $A$ は対角化できない。