関数 $y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2\sin \theta$ （①）について、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq 0$ のとき、次の問いに答えよ。 (1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = t$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) ①を $t$ で表せ。 (3) ①の最大値、最小値とそれを与える $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2\sin \theta$ （①）について、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq 0$ のとき、次の問いに答えよ。

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = t$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) ①を $t$ で表せ。

(3) ①の最大値、最小値とそれを与える $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を合成する。

$t = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq 0$ より、$-\frac{\pi}{6} \leq \theta + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{3}$

よって、$-\frac{1}{2} \leq \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$-1 \leq t \leq \sqrt{3}$

(2) $y = \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos \theta - 2\sin \theta$ を $t$ で表す。

$\cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta = 2 \cos(2\theta - \frac{\pi}{3})$

$= 2[\cos 2\theta \cos \frac{\pi}{3} + \sin 2\theta \sin \frac{\pi}{3}]$

$= 2[\frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta]$

$= \cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta$

$= 1 - 2 \sin^2 \theta + 2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta$

$t = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ より、$t^2 = \sin^2 \theta + 2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + 3 \cos^2 \theta$

$2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = t^2 - \sin^2 \theta - 3 \cos^2 \theta$

$= t^2 - \sin^2 \theta - 3 (1 - \sin^2 \theta)$

$= t^2 + 2 \sin^2 \theta - 3$

$\cos 2\theta + \sqrt{3} \sin 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta + t^2 + 2 \sin^2 \theta - 3 = t^2 - 2$

$- 2 \sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta = -2 (\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta) = -2t$

したがって、$y = t^2 - 2 - 2t = t^2 - 2t - 2 = (t-1)^2 - 3$

(3) $y = (t-1)^2 - 3$ の最大値、最小値を求める。$-1 \leq t \leq \sqrt{3}$

$t = 1$ のとき、最小値 $y = -3$

$t = -1$ のとき、最大値 $y = (-1-1)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$t = 1$ のとき、$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ より $\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = - \frac{\pi}{6}$

$t = -1$ のとき、$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = - \frac{1}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = - \frac{\pi}{6}$ より $\theta = - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = - \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \leq t \leq \sqrt{3}$

(2) $y = t^2 - 2t - 2 = (t-1)^2 - 3$

(3) 最大値：1 ($\theta = -\frac{\pi}{2}$)、最小値：-3 ($\theta = -\frac{\pi}{6}$)