2次関数 $y = 2x^2 + 2x + a + 3$ について、以下の問いに答えます。 (i) グラフの頂点を求めます。 (ii) $-3 \le x \le -1$ における関数の最小値を求めます。 (iii) $-1 \le x \le 3$ における関数の最大値を $M$ 、最小値を $m$ とするとき、$M+m = 20$ となるような $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 2x + a + 3$ について、以下の問いに答えます。

(i) グラフの頂点を求めます。

(ii) $-3 \le x \le -1$ における関数の最小値を求めます。

(iii) $-1 \le x \le 3$ における関数の最大値を $M$ 、最小値を $m$ とするとき、$M+m = 20$ となるような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(i) 頂点を求める

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 + x) + a + 3 = 2\left(x^2 + x + \frac{1}{4}\right) - 2\left(\frac{1}{4}\right) + a + 3 = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + a + 3$

$y = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + a + \frac{5}{2}$

したがって、頂点の座標は $\left(-\frac{1}{2}, a + \frac{5}{2}\right)$

(ii) $-3 \le x \le -1$ における最小値を求める

$y = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + a + \frac{5}{2}$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸は $x = -\frac{1}{2}$ です。

$-3 \le x \le -1$ の範囲において、軸 $x = -\frac{1}{2}$ がこの範囲に含まれていません。したがって、$x$が$-1$に近いほど値が小さくなります。

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1)^2 + 2(-1) + a + 3 = 2 - 2 + a + 3 = a + 3$

$x = -3$ のとき、$y = 2(-3)^2 + 2(-3) + a + 3 = 18 - 6 + a + 3 = a + 15$

範囲 $-3 \le x \le -1$ において、軸 $x = -\frac{1}{2}$ が含まれないので、最小値は $x = -1$ のときの $a+3$ となります。

(iii) $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める

$-1 \le x \le 3$ の範囲において、軸 $x = -\frac{1}{2}$ が含まれます。

したがって、最小値 $m$ は $x = -\frac{1}{2}$ のときの $a + \frac{5}{2}$ となります。

$-1 \le x \le 3$ の範囲の端点での値を計算します。

$x = -1$ のとき、$y = a + 3$

$x = 3$ のとき、$y = 2(3)^2 + 2(3) + a + 3 = 18 + 6 + a + 3 = a + 27$

したがって、最大値 $M$ は $x = 3$ のときの $a + 27$ となります。

$M + m = (a + 27) + \left(a + \frac{5}{2}\right) = 2a + 27 + \frac{5}{2} = 2a + \frac{54 + 5}{2} = 2a + \frac{59}{2}$

$M + m = 20$ より、

$2a + \frac{59}{2} = 20$

$2a = 20 - \frac{59}{2} = \frac{40 - 59}{2} = -\frac{19}{2}$

$a = -\frac{19}{4}$

3. 最終的な答え

(i) 頂点: $\left(-\frac{1}{2}, a + \frac{5}{2}\right)$

(ii) 最小値: $a+3$

(iii) $a = -\frac{19}{4}$