放物線 $y = x^2 - 2ax + 2a + 1$ が与えられている。ここで、$a$ は定数で、$0 \le a < 2$ である。 (1) 放物線の頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) $0 \le x \le 4$ における最大値 $M$ を求める。 (3) (2) における最小値を $m$ とするとき、$M - m = t$ とする。$t$ の取り得る範囲を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2ax + 2a + 1$ が与えられている。ここで、$a$ は定数で、$0 \le a < 2$ である。

(1) 放物線の頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) $0 \le x \le 4$ における最大値 $M$ を求める。

(3) (2) における最小値を $m$ とするとき、$M - m = t$ とする。$t$ の取り得る範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

与えられた放物線の方程式を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + 2a + 1 = (x - a)^2 - a^2 + 2a + 1$

したがって、頂点の座標は $(a, -a^2 + 2a + 1)$ である。

(2) $0 \le x \le 4$ における最大値 $M$ を求める。

$f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1$ とする。

頂点の $x$ 座標は $a$ であり、$0 \le a < 2$ である。

定義域は $0 \le x \le 4$ である。

場合分けをする。

(i) $0 \le a < 2$ のとき

軸 $x=a$ は定義域 $0 \le x \le 4$ に含まれる。

$f(0) = 2a + 1$

$f(4) = 16 - 8a + 2a + 1 = 17 - 6a$

$f(0)$ と $f(4)$ を比較する。

$f(4) - f(0) = (17 - 6a) - (2a + 1) = 16 - 8a = 8(2 - a) > 0$ より $f(4) > f(0)$

したがって、最大値 $M$ は $x = 4$ のときにとり、

$M = f(4) = 17 - 6a$

(3) 最小値 $m$ を求める。

場合分けをする。

(i) $0 \le a \le 4$ のとき、頂点が定義域内にあるので、

最小値 $m$ は $x = a$ のときにとり、

$m = -a^2 + 2a + 1$

$0 \le a < 2$ なので、常にこの範囲である。

$t = M - m$ を求める。

$t = (17 - 6a) - (-a^2 + 2a + 1) = a^2 - 8a + 16 = (a - 4)^2$

$0 \le a < 2$ より、

$-4 \le a - 4 < -2$

$4 < (a - 4)^2 \le 16$

したがって、$4 < t \le 16$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標：$(a, -a^2 + 2a + 1)$

(2) 最大値 $M$: $17 - 6a$

(3) $t$ の取り得る範囲：$4 < t \le 16$