与えられた数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, ...$ について、 (1) $\frac{64}{77}$ が第何項であるかを求める。 (2) 第800項を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, ...$ について、

(1) $\frac{64}{77}$ が第何項であるかを求める。

(2) 第800項を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、分母が $n$ の項の数が $n-1$ 個であることに注目する。

分母が $n$ 以下の項の総数は、

$\sum_{k=2}^{n} (k-1) = \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ である。

$\frac{64}{77}$ について、分母は77なので、$n=77$である。

分母が76以下の項の総数は、$\frac{76 \cdot 77}{2} = 38 \cdot 77 = 2926$ である。

$\frac{64}{77}$ は、分母が77の項の中で64番目である。

したがって、$\frac{64}{77}$ は、第 $2926 + 64 = 2990$ 項である。

(2)

第800項の分母を $n$ とすると、

$\frac{(n-1)n}{2} \geq 800$ を満たす最小の整数 $n$ を求める。

$(n-1)n \geq 1600$ である。

$n=40$とすると、$39 \cdot 40 = 1560 < 1600$

$n=41$とすると、$40 \cdot 41 = 1640 > 1600$

よって、$n=41$ である。

分母が40以下の項の総数は、$\frac{40 \cdot 41}{2} = 20 \cdot 41 = 820$ である。

したがって、第800項は、分母が41の項の中で $800 - \frac{40 \cdot 41}{2} = 800 - 820 = -20$

800項は、分母が41の項の中で$41-1=40$個の項があるので、$820 - 800 = 20$番目なので、

$41- (820-800) = 41 -20 = 41 - 20 = 41 -20$

$820-800 = 20$. したがって分子は$41-20=21$ではない。

分子は$k$とすると、$820-k=800$が近い。

$\frac{n(n-1)}{2}$

$n=40$, $\frac{40*39}{2} = 20*39 = 780$

分子 = $800 - 780 = 20$

第800項は$\frac{20}{41}$

3. 最終的な答え

(1) 2990

(2) $\frac{20}{41}$