与えられた関数 $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ を微分して、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ を微分して、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u}{v}$ が与えられたとき、その微分が $\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$ で与えられるというものです。

この問題では、$u = \cos x$、 $v = 1 - \sin x$ と置きます。すると、

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

$\frac{dv}{dx} = -\cos x$

これらの値を商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 - \sin x)(-\sin x) - (\cos x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2}$

これを整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{(1 - \sin x)^2}$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x + 1}{(1 - \sin x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)^2}$

最後に、分子と分母を $(1 - \sin x)$ で割ります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - \sin x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - \sin x}$